Аналитическое решение заданного уравнения

 Уравнение

у' – у = -2ху^-1

есть уравнение Бернулли. Проинтегрируем его методом Бернулли, для чего положим у = uv, где u и v две неизвестные функции. Тогда исходное уравнение преобразуется к следующему:

u'v – v'u – uv = -2x(uv)^-1

или

                                          u(v'–v)+ u'v = -2x(uv)^-1 .                              (*)

Функцию v выберем из условия v' – v = 0, причем возьмем частное решение этого дифференциального уравнения v  = е^х.

Подставив v в уравнение (*), получаем u' е^х = -2хu^-1е^-х,

а это – уравнение с разделяющими переменными. Решая его, находим

u²  = с +2хе^-2х + е^-2х .

Так как решение исходного уравнения есть произведения функций u и v, то получаем                          .

При начальном условии у(0) = 1 получим

.

Таким образом, искомое частное решение имеет вид

.

Сравнение точного решения и приближенных решений исходного дифференциального уравнения

Таблица 6

Контрольная работа №7

Пусть дано:

;  у(0) = 0; x [0,0,2]; .

Для выбора шага интегрирования вычислим решение в точке х = 0,1 с шагом h = 0,1(табл.7) и с шагом h = 0,05 (табл.8).

Таблица 7

В таблицах .

Таблица 8

Так как полученные результаты совпадают в пределах заданной точности, вычисления продолжим с шагом h = 0,1 и с шагом h = 0,2.

Результаты вычислений помещены в табл.9 и табл.10 соответственно.

Таблица 9

Таблица 10

Сравнение результатов расчета, полученных с шагом h = 0,1 и с шагом h = 0,2, показывает, что с точностью до ε = 10^-3 можно принять                 у(0,2) ≈ 0,014158 и что в дальнейшем шаг расчета следовало бы снова удвоить.

Контрольная работа №8

Пусть дано:

;  у(0) = у'(0) = 1;   [0;0,3];   h = 0,1.

Решение дифференциального уравнения методом Рунге-Кутта

С помощью подстановки у' = z,  у'' = z' заменим исходное дифференциальное уравнение системой уравнений:

                                                                                         (**)

с начальными условиями у(0) = 1,  z(0) = 1. Таким образом,

f₁(x, y, z)  = z,

f₂(x, y, z)= 3z –2y + x .

Шагом интегрирования h = 0,1 разобьем отрезок [0;0,3] на три равных части точками х₀= 0, х₁= 0,1, х₂ = 0,2, х₃ = 0,3. Для вычисления приближенных значений  у₁, у₂, у₃  и  z₁, z₂, z₃  решения системы (**) воспользуемся формулами (10.17). Результаты вычислений помещены в табл.11. Заполнение таблицы ведется в следующем порядке.

При i = 0:

1. Записываем в первой строке х₀  = 0,  у₀ = 1,  z₀ = 1.

2. Вычисляем f₁(x₀, y₀, z₀)= z₀ = 1,  f₂(x₀, y₀, z₀) = 3z₀ –2y₀ + x₀ = 1,

тогда К₁⁽⁰⁾ = 0,1∙1 = 0,1;  l₁⁽⁰⁾  = 0,1∙1 = 0,1.

3. Записываем во второй строке

, , .

4. Вычисляем  

тогда .

5. Записываем в третьей строке

, , .

6. Вычисляем

,

тогда .

7. Записываем в четвертой строке

, ,

8. Вычисляем

тогда .

9. В столбцы  и  записываем числа K₁⁽⁰⁾, 2K₂⁽⁰⁾, 2K₃⁽⁰⁾, K₄⁽⁰⁾ и  соответственно.

10. Вычислим

11. Получаем

Значения  заносим в строку, помеченную индексом i = 1, и снова проводим вычисления по формулам (10.17). В результате этих вычислений получаем следующую таблицу приближенных значений решения системы (**).

Таблица 11