Решение уравнения методом Эйлера

Приближенные значения у₁, у₂,..,у₅решения исходного уравнения в точках х₁, х₂,… х₅ вычислим по формуле (10..8), в которой . Результаты вычисления будем заносить в табл.2. Заполняется она следующим образом.

В первой строке при i = 0 записываются начальные значения х₀ = 0,0;  у₀ = 1,0000и по ним вычисляются f(х₀, у₀) = 1,0000, а затем Δу = hf (х₀, у₀) = = 0,2*1,0000 = 0,2000. Тогда по формуле (108) при i = 0 находим у₁ = у₀ + Δу₀ = = 1,0000 + 0,2000 = 1,2000.

Во второй строке при i = 1 записываем значения х₁ = 0,2;  у₁ = 1,2000. Используя их, вычислим f (х₁,у₁)= 0,8667 затем

Δу₁ = hf (х₁, у₁)= 0,2*0,8667 = 0,1733.

И по формуле (108) при i = 1 получаем у₂ = у₁+Δу₁ = 1,2000 + 0,1733 = 1,3733. При i = 2, 3, 4, 5 вычисления ведутся аналогично.

Таблица 2

Решение уравнения модифицированным методом Эйлера

 Приближенные значения у₁, у₂,..,у₅решения исходного уравнения в точках    х₁, х₂,… х₅ вычислим по формулам (10.11) и (10.12), в которых . Результаты вычислений будем заносить в табл.3. Заполняется она следующим образом.

Таблица 3

i	х1	у1
0	0,0	1,0000	0,1	1,0000	1,0000	0,1836
1	0,2	1,1836	0,3	0,8457	1,2682	0,1590
2	0,4	1,3426	0,5	0,7467	1,4173	0,1424
3	0,6	1,4850	0,7	0,6769	1,5527	0,1302
4	0,8	1,6152	0,9	0,6246	1,6778	0,1210
5	1,0	1,7362

В первой строке записываем i = 0,  x₀ = 0,0,  y₀ = 1,0000. Вычисляем

;

Далее находим

;

и

Тогда по формуле (10.12) при i = 0 имеем

у₁ =  у₀ + Δу₀ = 1,0000 + 0,1836 = 1,1836.

Используя этот результат, записываем во второй строке i = 1,  x₁ = 0,2,                y₁ = 1,1836 и последовательно находим

;

; ;

Тогда по формуле (10.12) при i = 1 имеем

у₂ =  у₁ + Δу₁ = 1,1836 + 0,1590 = 1,3426.

Заполнение таблицы при i = 2, 3, 4, 5 проводится аналогично.

Решение уравнения методом Рунге-Кутта

 Приведем сначала удобную схему вычислений по методу Рунге-Кутта, сведя ее в табл.4, и опишем порядок заполнения этой таблицы.

Схема метода Рунге-Кутта:

                                                Таблица 4

i	x	у	K=hf(x,y)	Δу
0	х0	у0	K1(0)	K1(0)
			K2 (0)	2K2 (0)
			K3(0)	2K3(0)
	х0+ h	у0+ K3(0)	K4(0)	K4(0)
				Δу0
1	х1	у1

Порядок заполнения таблицы

1. Записываем в первой строке таблицы данные значения х₀,у₀.

2. Вычисляем f (х₀,у₀), умножаем на h и заносим в таблицу в качестве K₁⁽⁰⁾.

3. Записываем во второй строке таблицы , .

4. Вычисляем , умножаем на h и заносим в таблицу в качестве K₂ ⁽⁰⁾.

5. Записываем в третьей строке таблицы , .

6. Вычисляем , умножаем на h и заносим в таблицу в качестве K₃⁽⁰⁾.

7. Записываем в четвертой строке таблицы х₀ + h,  у₀ + K₃⁽⁰⁾.

8. Вычисляем , умножаем на h и заносим в таблицу в качестве K₄⁽⁰⁾.

9. В столбец Δу записываем числа K₁⁽⁰⁾, 2K₂ ⁽⁰⁾, 2K₃⁽⁰⁾, K₄⁽⁰⁾.

10. Суммируем числа, стоящие в столбце Δу, делим на 6 и заносим в таблицу в качестве Δу₀.

11. Вычисляем у₁ = у₀ + Δу₀.

Затем все вычисления повторяются в том же порядке, принимая за начальную точку (х₁, у₁). Заметим, что если f(x,y) являются достаточно сложной функцией, то рекомендуется вычисление правой части дифференциального уравнения включать в табл.4 или, если эти вычисления громоздки, записывать их в отдельную таблицу.

Итак, решим исходное уравнение методом Рунге-Кутта. Приближенные значения у₁, у₂,..,у₅решения этого уравнения будем вычислять по формулам (10.14)–( 10.16), где , в порядке, указанном в приведенной выше схеме. Результаты вычислений помещаем в табл.5, заполняя ее в указанном выше порядке.

При i = 0.

1. Записываем в первой строке х₀ = 0,0,  у₀ = 1,0000.

2. Вычисляем f (х₀,у₀) = 1,0000;  тогда  K₁⁽⁰⁾ = 0,2 ∙1,0000 = 0,2000.

3. Записываем во второй строке ,

4. Вычисляем = 0,9182; тогда K₂ ⁽⁰⁾ = 0,1836.

5. Записываем в третьей строке , .

6. Вычисляем  = 0,9086; тогда K₃⁽⁰⁾ = 0,1817.

7. Записываем в четвертой строке х₀ + h = 0,2;  у₀ + K₃⁽⁰⁾ = 1,1817.

8. Вычисляем f(х₀+ h, у₀+ K₃⁽⁰⁾) = 0,8432; тогда K₄⁽⁰⁾ = 0,1686.

9. В столбец Δу записываем числа K₁⁽⁰⁾, 2K₂ ⁽⁰⁾, 2K₃⁽⁰⁾, K₄⁽⁰⁾.

10. Вычисляем  = 0,1832.

11. Получаем у₁ = у₀ + Δу₀ = 1,1832.

Таблица 5

Значения х₁ = 0,1,  у₁ = 1,1832 заносим в строку, помеченную индексом  i = 1, и снова проводим вычисления по формулам (10.14)–( 10.16).