НЕПРЕРЫВНОЕ НАЧИСЛЕНИЕ ПРОЦЕНТОВ

В зависимости от частоты начисления процентов наращение суммы осуществляется различными темпами, причем с возрастанием частоты накопленная сумма увеличивается. Максимально возможное наращение осуществляется при бесконечном дроблении годового интервала. Из формулы (4.7) следует:

где e - одна из важнейших постоянных математического анализа, относящаяся к группе так называемых замечательных пределов; трансцендентное число е = 2,718281... широко используется в элементарной математике (при построении логарифмических и показательных функций), а также в теории вероятностей и математической статистике (при построении функций распределения).

Таким образом, при непрерывном начислении процентов в пределах одного года используется следующая базовая формула:

F₁ = Р • e ^r .                         (4.12)

Пример

Рассчитать накопленную сумму для различных вариантов начисления процентов за один год, если исходная сумма Р = 1000 руб. и r= 10%.

Приведенные расчеты подтверждают наличие прямой зависимости между частотой начисления процентов и накопленной суммой; последняя графа таблицы показывает, что с увеличением частоты начисления темп прироста накопленной суммы уменьшается.

Графически изменение накапливаемой суммы в зависимости от частоты начисления имеет следующий вид (рис. 4.4).

ЭФФЕКТИВНАЯ ГОДОВАЯ ПРОЦЕНТНАЯ СТАВКА

Различными видами финансовых контрактов могут предусматриваться различные схемы начисления процентов. Чтобы обеспечить сравнительный анализ эффективности таких контрактов, необходимо выбрать некий показатель, который был бы универсальным для любой схемы начисления. Таким показателем может быть эффективная годовая процентная ставка r (е) обеспечивающая переход от Р к F_n при заданных значениях эти» показателей.

Из формулы (4.6) следует, что в рамках одного года

F_n = P • (l+ r/m)^m

Из определения эффективной годовой процентной ставки следует, что

F_n = P + P • r (e) = P • [l+r(e)],

отсюда:

r (e) = (l + r/m) ^m - 1.           (4.8)

Из формулы (4.8) следует, что эффективная ставка зависит от количества внутригодовых начислений, причем с ростом m она увеличивается.

Пример

В условиях предыдущего примера рассчитать эффективную годовую процентную ставку для каждого варианта.

По формуле (4.8):

m       1 2        4   12   365 ∞

r (e):      0,10 0,1025 0,10381 0,10471 0,10516 0,10517

Пример

Предприниматель может получить ссуду: а) либо на условиях ежеквартального начисления процентов из расчета 75% годовых; б) либо на условиях полугодового начисления процентов из расчета 80% годовых. Какой вариант более предпочтителен?

Относительные расходы предпринимателя по обслуживанию № могут быть определены с помощью расчета эффективной годовой процентной ставки - чем она выше, тем больше уровень расходов. По формуле (4.8):    

Вариант а):    

r (е) = (1+0,75/4)⁴ - 1 =0,99;

вариант б):

r (е) = (1+0,80/2) ²  - 1=0,96.

Каким образом, вариант б) является более предпочтительней для предпринимателя.