ВНУТРИГОДОВЫЕ ПРОЦЕНТНЫЕ НАЧИСЛЕНИЯ

В практике выплаты дивидендов нередко оговаривается величина годового процента и частота выплаты. В этом случае расчет ведется по формуле сложных процентов по подынтервалам и по ставке, равной пропорциональной доле исходной годовой ставки по формуле:

F_n= P•(l+r/m)^{k - m}                (4.7)

где r - объявленная годовая ставка;

m - количество начислений в году;

k - количество лет.

Пример

6                           5,0                            1,10       =  5,5

12                             5,5                            1.10       =  6,05

18                             6,05                          1.10       =  6,655

24                             6,655                   1.10       =  7,3205

Если пользоваться формулой (4.7), то m = 2, k = 2, следовательно:

F_n = 5 • (1 + 20% : 100% : 2)⁴ = 7,3205 млн. руб.

Пример

В условиях предыдущего примера проанализировать, изменится ли величина капитала к концу двухлетнего периода, если бы проценты начислялись ежеквартально.

В этом случае начисление будет производиться восемь раз по ставке 5% (20%: 4), а сумма к концу двухлетнего периода составит:

F_n = 5 • (1 + 0,05)⁸ = 7,387 млн.руб.

Таким образом, можно сделать несколько простых практических выводов:

при начислении процентов: 12% годовых не эквивалентно 1% в месяц (эта ошибка очень распространена среди начинающих бизнесменов);

чем чаще идет начисление по схеме сложных процентов, тем больше итоговая накопленная сумма.    

НАЧИСЛЕНИЕ ПРОЦЕНТОВ ЗА ДРОБНОЕ ЧИСЛО ЛЕТ

Достаточно обыденными являются финансовые контракты, заключаемые на период, отличающийся от целого числа лет. В этом случае проценты могут начисляться одним из двух методов: по схеме сложных процентов:

F_n = P - (l+r) ^w+f                      (4.8)

по смешанной схеме (используется схема сложных процентов для целого числа лет и схема простых процентов — для дробной части года):

F_n = P-(l+r)^w (l+f  r),      (4.9)

где: w - целое число лет;

f - дробная часть года.

Поскольку f < 1, то (1 + f' г) > (1 + г) ^f, следовательно, наращенная сумма будет больше при использовании смешанной схемы.

Пример

Банк предоставил ссуду в размере 10 млн. руб. на 30 месяцев под 30% годовых на условиях ежегодного начисления процентов. Какую сумму предстоит вернуть банку по истечении срока?

По формуле (4.8): F_n = 10 • (1 + 0,3)^{2 + 0,.5} = 19,27 млн. руб.

По формуле (4.9): F_n = 10 • (1 + 0,3)² • (1 + 0,3 • 0,5) = 19,44 млн. руб.

Таким образом, в условиях задачи смешанная схема начисления процентов более выгодна для банка.

Возможны финансовые контракты, в которых начисление процентов осуществляется по внутригодовым подпериодам, а продолжительность общего периода действия контракта не равна целому числу подпериодов. В этом случае также возможно использование двух схем:

а)  схема сложных процентов:

F_n = P • (1+r/m) ^m•^k • (l+r/m)^f             (4.10)

б) смешанная схема:

F_n = P • (l+r/m)^m*k • (1+f-r/m),             (4.11)

где k — количество лет; m - количество начислений в году; r - годовая ставка; f - дробная часть подпериода.

Пример

Банк предоставил ссуду в размере 120 млн. руб. на 27 месяцев (т.е. 9 кварталов, или 2,25 года) под 16% годовых на условиях единовременного возврата основной суммы долга и начисленных процентов. Проанализировать, какую сумму предстоит вернуть банку при различных вариантах и схемах начисления процентов: а) годовое; б) полугодовое; в) квартальное.

а)  Годовое начисление процентов

В этом случае продолжительность ссуды не является кратной продолжительности базисного периода, т.е. года. Поэтому возможно применение любой из схем, характеризуемых формулами (4.8) и (4.9) и значениями соответствующих параметров: w = 2; f =0,25; г = 16%.

При реализации схемы сложных процентов:

F_n = Р • (1 + r)^w+f = 120 • (1 + 0,16)^2,25 = 167,58 млн. руб. При реализации смешанной схемы: F_n = Р • (1 + r)^w • (1 + f • r) = 120 • (1 + 0,16)² • 1,04 = 167,93 млн.руб.

б) Полугодовое начисление процентов

В этом случае мы имеем дело с ситуацией, когда начисление процентов осуществляется по внутригодовым подпериодам, а продолжительность общего периода действия контракта не равна целому числу подпериодов. Следовательно, нужно воспользоваться формулами (4.10) и (4.11), когда базисный период равен полугодию, а параметры формул имеют следующие значения: k = 2; f= 0,5; m = 2;. r = 16%.

При реализации схемы сложных процентов:

F_n = Р • (1 + r/m)^m*k • (1 + r/m) ^f = 120 • (1 +0,08) ^4.5 = 169,66 млн. руб. При реализации смешанной схемы:

F_n = P • (l + r/m) ^m*k • (l +f • r/m)= 120 • (1 + 0,08) ⁴ • (1 + ½ • 0,16/2) = 169,79 млн. руб/

в)  Квартальное начисление процентов

В этом случае продолжительность ссуды кратна продолжительности базисного периода и можно воспользоваться обычной формулой сложных процентов (4.4), в которой n = 9, а г = 0,16/4 = 0,04.

F_n = 120 • (1 + 0,04) ⁹ = 170,8 млн.руб.