Элементы логической символики

Запись ∀x: |x|<2 → x²< 4 означает: для каждого x такого, что |x|<2, выполняется неравенство x²< 4.

Квантор:

При записи математических выражений часто могут быть использованы кванторы.

Квантором называется логический символ, который характеризует следующие за ним элементы в количественном отношении.

• ∀- квантор общности, используется вместо слов "для всех", "для любого".
• ∃- квантор существования, используется вместо слов "существует", "имеется". Используется также сочетание символов ∃!, которое читается как существует единственный.

Операции над множествами

Два множества А и В равны (А=В), если они состоят из одних и тех же элементов.

К примеру, если А={1,2,3,4}, B={3,1,4,2} то А=В.

Объединением (суммой) множеств А и В называется множество А ∪ В, элементы кᴏᴛᴏᴩого принадлежат хотя бы одному из данных множеств.

К примеру, если А={1,2,4}, B={3,4,5,6}, то А ∪ B = {1,2,3,4,5,6}

Пересечением (произведением) множеств А и В называется множество А ∩ В, элементы кᴏᴛᴏᴩого принадлежат как множеству А, так и множеству В.

К примеру, если А={1,2,4}, B={3,4,5,2}, то А ∩ В = {2,4}

Разностью множеств А и В называется множество АВ, элементы кᴏᴛᴏᴩого принадлежат множеству А, но не принадлежат множеству В.

К примеру, если А={1,2,3,4}, B={3,4,5}, то АВ = {1,2}

Симметричной разностью множеств А и В называется множество А Δ В, являющееся объединением разностей множеств АВ и ВА, то есть А Δ В = (АВ) ∪ (ВА).

К примеру, если А={1,2,3,4}, B={3,4,5,6}, то А Δ В = {1,2} ∪ {5,6} = {1,2,5,6}

Свойства операций над множествами:

Свойства перестановочности

A ∪ B = B ∪ A
A ∩ B = B ∩ A

Сочетательное свойство

(A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)
(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)

Счетные и несчетные множества

Для того, ɥᴛᴏбы сравнить два каких-либо множества А и В, между их элементами устанавливают соответствие.

В случае если ϶ᴛᴏ соответствие взаимнооднозначное, то множества называются эквивалентными или равномощными, А В или В А.

Пример 1: множество точек катета ВС и гипотенузы АС треугольника АВС будут равномощными.

Равновесие производителя — это такое положение фир­мы, для которого характерно полное использование денежно­го капитала и при этом достижение максимально возможно­го для данного количества ресурсов объема выпуска.

В точке Е изокванта и изокоста имеют равный угол накло­на, величину которого определяет показатель предельной нормы технологического замещения(MRTS).

Динамика показателя MRTS (он возрастает при движении вверх вдоль изокванты) показывает, что существуют пределы взаимозамещения факторов, связанные с тем, что эффектив­ность использования производственных факторов ограниче­на. Чем большее количество труда используется для вытес­нения капитала из производственного процесса, тем меньше производительность труда. Аналогичным образом замещение труда все большим количеством капитала снижает отдачу по­следнего.

Производство требует сбалансированного сочетания обо­их производственных факторов для наилучшего их использо­вания. Предпринимательская фирма готова заменить один фактор на другой при условии выигрыша или, по меньшей мере, равенства потери и выигрыша в производительности.

Но на рынке факторов важно учитывать не только их производительность, но и цены на них.

Наилучший вариант использования денежного капитала фирмы, или положение равновесия производителя, подчиня­ется следующему критерию: положение равновесия произво­дителя достигается, когда предельная норма технологическо­го замещения факторов производства равна соотношению цен на эти факторы. Алгебраически это можно выразить так:

-P_L /P_K = -dK / dL = MRTS

где P_L,,P_K -цены на труд и капитал; dK,dL -изменение ко­личества капитала и труда; MTRS -предельная норма техно­логического замещения.

Анализ технологических аспектов производства фирмы, максимизирующей прибыль, представляет интерес лишь с точки зрения достижения наилучших конечных результатов, т. е. продукта. Ведь вложения в ресурсы для предпринимателя являются только издержками, которые необходимо нести, чтобы получить продукт, реализуемый на рынке и принося­щий доход. Затраты приходится сопоставлять с результатом. Показатели результата, или продукта, приобретают поэтому особое значение.