Уравнения, описывающие основные гидравлические агрегаты

1. Уравнение неустановившегося движения несжимаемой жидкости (по простому трубопроводу постоянного сечения) с местными гидравлическими потерями:

,                   (7.5)

где r - плотность рабочей жидкости; L - длина трубопрово­да; р_вх - давление на входе в трубопровод; р_вых - давление на выходе из трубопровода; Dр - суммарные гидравлические потери на трение и в местных гидравлических сопротивлени­ях,   которые    определяются     следующим     выражением: Dр= k_тpQ^m-k_mQ².  Здесь ламинарный режим при Q<Q_кр

турбулентный режим при Q³Q_кр (гидравлически гладкая труба)

Местное гидравлическое сопротивление при турбулентном режиме

Умножив правую и левую части уравнения (7.5) на живое сечение трубопровода  и разделив на rL, получим

Имея в виду, что v×S_тp = Q, и введя обозначение коэффициента , учитывающего инерцию жидкости в трубопроводе, получим дифференциальное уравнение для трубопровода с местным сопротивлением:

                          (7.6)

2. Уравнение неустановившегося движения поршня гидроцилиндра без учета сжимаемости жидкости в полостях:

                       (7.7)

где v - скорость поршня гидроцилиндра; S_н,  S_с - рабочие площади поршня полостей гидроцилиндра, соединенных с на­гнетанием и сливом соответственно; р_н, р_с - давление в по­лостях нагнетания и слива соответственно; m - масса, при­веденная к штоку; F(x) - активная сила вдоль штока в функ­ции хода штока. Уравнение хода поршня:

где   х - ход поршня гидроцилиндра.

3. Уравнение безынерционного пневмогидроаккумулятора. Уравнение состояния газа в газовой полости:

где р_з - начальное давление в газовой полости - давление зарядки; V_o - полный начальный объем газовой полости; р_А - текущее давление в газовой полости, равное давлению жидкости; V - текущее значение объема газа; n - показа­тель политропы.

Объем рабочей жидкости в гидроаккумуляторе равен

подставив из уравнения состояния газа значение V, получим

Продифференцировав по времени полученное выражение, найдем уравнение расхода рабочей жидкости из пневмогидроаккумулятора при падении давления:

Отсюда

                                           (7.9)

где

4. Уравнение, определяющее давление, которое создается объемным насосом с регулятором подачи. Приведенную ха­рактеристику насоса (рис. 1) можно представить в виде следующих уравнений двух наклонных прямых:

                              (7.10)

где А_н и k_н - постоянные коэффициенты, которые определя­ются для каждого участка характеристики по значениям р_max; p_p, Q_p, Q₀ - максимальное значение давления при подаче, равной нулю; р_р - давление при подаче насоса Q_p (точка максимальной мощности насоса); Q_н - геометрическая подача насоса; Q_н - текущая подача насоса. Подводя итог перечню урав­нений основных гидравлических агрегатов, можно выделить четыре типа уравнений:

1. Уравнения, в которых пере­менным параметром потока, стоя­щим под знаком дифференциала, является расход рабочей жидкости или величина, пропорциональная расходу (скорость). Эти уравнения гидравлических линий и гидроцилиндра без учета сжимаемости рабочей жидкости вида

                    (7.11)

Правая часть этих уравнений линейно зависит от давле­ний в узлах, между которыми расположен данный элемент (агрегат) гидросистемы, и в общем случае от нелинейной функции f( , х_к, t). Для этого типа уравнений в качестве начальных условий должен быть задан расход рабочей жид­кости или скорость. Элементы, описываемые таким типом уравнений, назовем «проточными».

2. Уравнения, в которых переменным параметром потока, стоящим под знаком дифференциала, является давление в уз­ле гидросистемы (например, уравнение гидроаккумулятора). Правая часть этих уравнений в общем виде нелинейная функция давления в узле, расходов рабочей жидкости, пере­мещений и т.д. Такие уравнения имеют вид

                                 (7.12)

Для этих уравнений в качестве начальных условий до­лжно быть задано давление в узле гидросистемы.

3. Уравнения, в которых под знаком дифференциала пе­ременным является ход исполнительного штока, имеют вид

                                                  (7-13)

4. Обыкновенные (не дифференциальные) уравнения, оп­ределяющие давление в узлах гидросистемы (уравнения на­соса и бака).