Отбор факторов при построении множественной регрессии

1. Факторы должны быть количественно соизмеримы. Качественные показатели переводят в количественную форму, например, выражая их в баллах.

2. Факторы, включаемые в модель множественной регрессии, не должны быть:

· интеркоррелированны – теснота связи между какими-то факторами больше, чем теснота связи между данными факторами и результативным признаком (например, ).

· коллинеарные – считается, что две переменные коллинеарные (находятся в линейной зависимости), если , и тем более мультиколлинеарные – более чем два фактора находятся в линейной зависимости.

Значимость уравнения регрессии оценивается при помощи критерия Фишера (F-критерия).

В данном случае, при существенности уравнения регрессии, критерий Фишера фактический (берется из результатов, полученных при компьютерном расчете или рассчитывается самостоятельно) должен быть больше теоретического F-критерия (берется из таблицы «Значение критерия Фишера-Снедекора»).

Фактический F-критерий для уравнения парной регрессии в целом рассчитывается как:

Оценку существенности уравнения регрессии проводят, сравнивая полученное значение F-критерия ( ) с табличным значением ( ), которое берут из таблиц критических значений F-отношений при определенном уровне значимости  или , и числе свободы: ,  (таблицы Снедекора-Фишера – приложение 2).

Фактический F-критерий для уравнения множественной регрессии в целом рассчитывается как:

,

где  - число параметров при переменных x;

n - число наблюдений;

 - остаточная сумма квадратов на одну степень свободы;

 - факторная сумма квадратов на одну степень свободы;

- коэффициент (индекс) множественной детерминации.

Частный F-критерий для фактора  определяется как:

Если  то уравнение регрессии значимо, если меньше незначимо.

Значимость параметров уравнения  и коэффициента корреляции  парной модели проверяют при помощи критерия Стьюдента – .

Для парной линейной модели.

.

Полученные фактические значения критерия Стьюдента сравнивают с табличными значениями при определенном уровне значимости ,  или , и числе степеней свободы  (приложение 1), где - число единиц наблюдения, - число параметров уравнения регрессии.

Значимость коэффициентов регрессии и корреляции множественной модели регрессии оценивается при помощи критерия Стьюдента ( ). В данном случае, при существенности коэффициентов регрессии, критерий Стьюдента фактический (берется из результатов, полученных при компьютерном расчете или рассчитывается самостоятельно) должен быть больше теоретического  (берется из таблиц Стьюдента при уровне значимости 0,10, 0,05, 0,01).

Фактический  для коэффициента регрессии при i-м факторе рассчитывается как:

.

Фактический  для коэффициентов корреляции рассчитывается как:

.

Если фактическое значение  больше табличного соответствующий коэффициент статистически значим.

Пример 24.Имеются данные о величине средней урожайности зерновых ц/га и затратах на минеральные удобрения руб/на 1га. пашни по хозяйствам района (табл. 38).

Таблица 38

№	Исходные данные		Расчетные данные
1	9,49	67	4489	635,83	10,93
2	7,57	53	2809	401,21	8,53
3	9,95	70	4900	696,50	11,45
4	9,23	51	2601	470,73	8,18
5	11,97	60	3600	718,20	9,73
6	8,56	56	3136	479,36	9,04
7	11,18	45	2025	503,10	7,15
8	7,93	57	3249	452,01	9,21
9	15,75	89	7921	1401,75	14,71
10	13,61	74	5476	1007,14	12,14
11	2,99	55	3025	164,45	8,87
12	12,57	87	7569	1093,59	14,37
13	10,93	65	4225	710,45	10,59
14	9,86	54	2916	532,44	8,70
15	7,39	48	2304	354,72	7,67
16	9,23	61	3721	563,03	9,90
17	15,4	79	6241	1216,60	13,00
18	13,14	85	7225	1116,90	14,03
19	12,12	81	6561	981,72	13,34
20	10,27	64	4096	657,28	10,42
21	9,12	55	3025	501,60	8,87
22	13,42	72	5184	966,24	11,79
23	10,29	69	4761	710,01	11,28
24	14,55	82	6724	1193,10	13,51
25	15,26	87	7569	1327,62	14,37
Итого	271,7800	1666	115352	18855,58	х
В среднем	10,87	66,64	х	754,22	х
	2,9261	13,1602	х	х	х

Необходимо:

1. Рассчитать коэффициент парной линейной корреляции, парной линейной детерминации, сделать выводы по каждому коэффициенту.

2. Построить уравнение парной линейной регрессии, спрогнозировать  при различных значениях фактора, то есть рассчитать:

· максимально возможную величину ;

· минимальную ;

·  для средних значений фактора.

3. Провести статистическую оценку:

· уравнения регрессии;

· параметров уравнения регрессии и коэффициент корреляции.

Решение.

1. Рассчитаем коэффициент парной линейной корреляции:

,

Коэффициент парной линейной корреляции показывает, что затраты на минеральное уравнение оказывают сильное влияние на величину урожайности зерновых.

Коэффициент парной линейной детерминации рассчитывается как квадрат коэффициента парной линейной корреляции;

Показывает, что 59% всей вариации результативного признака обусловлено включенным в модель фактором.

2. Уравнение парной линейной регрессии имеет вид

При расчете параметров уравнения при помощи МНК необходимо решить систему из двух нормальных уравнений.

Рассчитаем все возможные значения в таблицу 38 и подставим в систему;

Разделим первое уравнение на 25, а второе на 1666

Вычтем из второго уравнение первое

Отсюда

Подставим в первое уравнение систему  и рассчитаем :

Получили уравнение парной линейной регрессии:

Параметр , называется коэффициентом регрессии. В примере он показывает, что при увеличении затрат на минеральные удобрения на 1руб/га пашни средняя урожайность зерновых, в среднем, возрастет на 0,1719ц/га.

Подставляя в уравнение значение фактора  рассчитаем – табл.38.

Рассчитаем максимально возможную величину . Коэффициент регрессии  положителен, поэтому возьмем максимальное значение фактора  (при отрицательном значении  берем минимальное значение фактора ).

Рассчитаем минимально возможную величину . Коэффициент регрессии  положителен, поэтому возьмем минимальное значение фактора  (при отрицательном значении  берем максимальное значение фактора ).

Рассчитаем величину при средних значениях фактора .

3. Проведем статистическую оценку уравнения регрессии его параметров и коэффициента корреляции.

Статистическую значимость уравнения регрессии определяют при помощи критерия Фишера ( ).

Рассчитаем фактическое значения критерия Фишера:

Теоретическое значение берем таблицы 5%-го уровня распределения F (приложение 3) .

Так как , уравнение регрессии признается статистически значимым.

Статистическую значимость параметра  и коэффициента корреляции  определяют при помощи критерия Стьюдента ( ).

Для парной линейной модели фактическое значения .

Табличное значение  берем из таблицы «Значение критерия t Стьюдента при уровне значимости 0,10, 0,05 и 0,01» (приложение 2) .

Так как, фактические значения критерия Стьюдента больше табличных коэффициент регрессии и корреляции следует признать статистически значимым.

Контрольные вопросы

Предмет и метод статистики

1. Что обозначает термин «статистика»?

2. Что является предметом и методом статистики?

3. Что такое статистическая совокупность?

4. Что такое статистический показатель?

5. Что такое единица статистической совокупности?

6. Что такое статистический признак, его отличие от статистического показателя и статистических данных?

7. Что такое количественные и качественные признаки?

8. Что такое альтернативный признак?

Статистическое наблюдение

9. Что является статистическим наблюдением?

10. В каких формах осуществляется статистическое наблюдение?

11. Что является целью наблюдения?

12. Что такое объект наблюдения?

13. Что такое ценз статистического наблюдения?

14. Что является единицей статистического наблюдения?

15. Что является программой статистического наблюдения?

16. Что такое субъект статистического наблюдения?

17. Как определяется время статистического наблюдения?

18. Какой момент статистического наблюдения называется критическим моментом наблюдения?

19. Какие виды статистического наблюдения различают по времени регистрации?

20. Какие виды статистического наблюдения различают по степени охвата единиц совокупности?

21. Какие виды статистического наблюдения различают по способу регистрации фактов?

22. Какие виды контроля материалов наблюдения применяют в статистике?

23. Виды ошибок статистического наблюдения.

Статистические показатели

24. Приведите классификацию статистических показателей по качественной характеристике.

25. Приведите классификацию статистических показателей по количественной характеристике.

26. Приведите классификацию статистических показателей по отношению к характеризуемому свойству.

27. Какие показатели относятся к показателям свойств конкретных объектов?

28. Какие показатели относятся к обобщающим показателям?

29. Что такое абсолютные показатели?

30. Что такое относительные показатели?

31. Назовите формы относительных величин в зависимости от того, к какому числу приравниваем базисную величину.

32. Что такое и как рассчитываются показатели выполнения плана?

33. Что такое и как рассчитываются показатели структуры?

34. Как рассчитать показатель структуры?

35. Что такое линейный коэффициент абсолютных структурных сдвигов?

36. Что такое квадратический коэффициент абсолютных структурных сдвигов?

37. Что такое и как рассчитываются показатели сравнения?

38. Что такое и как рассчитываются показатели динамики (темпы)?

39. Что такое и как рассчитываются показатели интенсивности?

40. Какие показатели относятся к показателям, характеризующим взаимосвязи между признаками?