Аналитическое выравнивание по прямой

Аналитическое уравнение прямой имеет вид: .

Для того чтобы рассчитать , надо найти неизвестные параметры уравнения  и , для чего воспользуемся методом наименьших квадратов, который в данном случае даст систему из двух нормальных уравнений:

.

Так как время - понятие относительное и зависит только от точки отсчета, можно назначить такую точку отсчета, что сумма показателей времени исследуемого динамического ряда будет равна нулю( ).

При нечетном числе уровней изучаемого динамического ряда за точку отсчета принимают серединный уровень ряда, который обозначают как . Периоды, стоящие выше данного уровня, обозначают отрицательными натуральными числами  и т.д. Уровни, стоящие ниже , обозначают положительными числами и т.д. Например, ряд из семи уровней будет обозначен как

Если число уровней изучаемого динамического ряда четное, то точку отсчета берут между двумя серединами уровней, она не обозначается. Периоды, стоящие выше, обозначают отрицательными натуральными числами  и т.д. Уровни, стоящие ниже, обозначают положительными числами  и т.д. Например, ряд из восьми уровней будет обозначен как .

Подставив  в уравнения системы, мы значительно ее упростим:

,

отсюда   и .

Для линейной зависимости параметр  рассматривается как обобщенный начальный уровень ряда,  – как параметр силы связи, он показывает среднее изменение изучаемого явления за один период времени.

Подставив значение рассчитанных параметров уравнения ,  и величину периодов времени , рассчитаем выровненные теоретические значения уровней динамического ряда, которые образуют теоретическую прямую линию (линейный тренд). Далее проводят оценку надежности полученного уравнения с помощью критерия Фишера (см. выше).

Аналитическое выравнивание по параболе второго порядка

Аналитическое уравнение параболы второго порядка имеет вид: .

Для расчета параметров уравнения используем систему уравнений:

.

Как и в аналитическом выравнивании, приравниваем сумму показателей времени исследуемого динамического ряда к нулю( ).

Система уравнений сократится:

.

Из уравнения (5) рассчитаем .

Останется система из двух уравнений:

 .

Рассчитаем параметр , исключив из системы параметр , для этого:

1) разделим 7-е и 8-е уравнения на коэффициенты, стоящие при , т.е. 7-е на n, а 8-е на . Таким образом коэффициенты, стоящие при , будут равны единице.

2) далее из 8-го сокращенного уравнения вычтем 7-е сокращенное уравнение, исключив таким образом . Получится уравнение с одним неизвестным , рассчитаем его.

Подставим параметры  и  в 1-е уравнение и рассчитаем параметр .

Подставив значение рассчитанных параметров уравнения , ,  и величину периодов времени , рассчитаем выровненные теоретические значения уровней динамического ряда, которые образуют теоретическую линию параболы второго порядка (тренд параболы второго порядка). Далее проводят оценку надежности полученного уравнения с помощью критерия Фишера (см. выше).