Основные  свойства дисперсии

1. Если из каждого значения варианты отнять (прибавить) одно и то же постоянное число А, то средний квадрат отклонений от этого не изменится: . Отсюда следует, что дисперсию можно рассчитать не только по заданным вариантам, но и по отклонениям этих вариант от какого-то постоянного числа: .

2. Если каждое значение вариант разделить или умножить на одно и то же постоянное число А,то дисперсия уменьшится (увеличится) от этого в А²раз, а стандартное отклонение (среднее квадратическое отклонение) – в А раз: . Отсюда следует, что все варианты можно разделить на какое-то одно и то же постоянное число (например, интервал ряда), рассчитать среднее квадратическое отклонение, а затем умножить его на это постоянное число: .

3. Средний квадрат отклонений, рассчитанный от средней величины, всегда будет меньше среднего квадрата отклонений, рассчитанного от любой другой величины А (свойство минимизации): , причем больше на квадрат разности между средней  и этой величиной А, т.е. на . Данное правило можно записать как  или .

Показатели вариации альтернативного признака

Альтернативный признак –это качественный (атрибутивный) признак, который показывает наличие или отсутствие данного признака у единицы совокупности (да или нет).

Среднее значение альтернативного признака:

,

где  – доля единиц совокупности, обладающая альтернативным признаком;

 – доля единиц совокупности, не обладающая альтернативным признаком, а .

Дисперсия альтернативного признака:

.

Показатели вариации для сгруппированных признаков

Общая дисперсия  показывает величину вариации во всей совокупности, сложившуюся под влиянием всех факторов:

 – простая;  – взвешенная.

Внутригрупповая (случайная) дисперсия  показывает величину вариации внутри групп, на которые разбита совокупность, обусловленная случайными причинами:

 – простая;     – взвешенная,

где  – групповая средняя.

По всем группам рассчитывают среднюю внутригрупповую дисперсию :

 – простая;             – взвешенная,

где  – общая численность по всем группам;

Межгрупповая (систематическая) дисперсия  показывает величину вариации групповых средних относительно общей средней, обусловлена систематическими причинами.

 – простая;        – взвешенная,

где  – число групп.

Все три вида дисперсии связанны Законом сложения дисперсий – общая дисперсия всегда равна сумме средней внутригрупповой и межгрупповой дисперсий: .

Для характеристики влияния группировочного признака на общую вариацию рассчитывают корреляционное отношение : .

Чем больше корреляционное отношение, тем больше фактор, положенный в основание группировки, оказывает влияние на общую вариацию.

Моменты распределения

Моменты распределения –обобщающая характеристика, определяющая характер распределения. Данное понятие взято из механики.

Моментом -го порядка называется средняя из -х степеней отклонений переменных значений признака  от некоторой величины  – .

Моменты, в зависимости от величины , называют:

· начальные;

· начальные относительно ;

· центральные.

Начальные моментырассчитывают, подставляя в предыдущую формулу : .

В практике статистики применяют следующие начальные моменты:

· нулевого порядка: ;

· первого порядка: ;

· второго порядка: ;

· третьего порядка: ;

· четвертого порядка: .

Условные моменты получают при  не равной средней арифметической и отличной от 0: .

В практике статистики применяют следующие условные моменты:

· первого порядка:

· второго порядка: ;

· третьего порядка: ;

· четвертого порядка: .

Центральные моменты получают, когда .

В практике статистики применяют следующие центральные моменты:

· нулевого порядка: ;

· первого порядка: ;

· второго порядка: ;

· третьего порядка: ;

· четвертого порядка: .

На практике используются только центральные моменты третьего порядка для определения показателя асимметрии и четвертого порядка для определения показателя эксцесса.