Показатели асимметрии и эксцесса

Коэффициент асимметриипоказывает «скошенность» ряда распределения относительно центра. ,

где  – центральный момент третьего порядка;

 – куб среднего квадратического отклонения.

Для данного метода расчета: если , в распределении наблюдается правосторонняя (положительная асимметрия), если , в распределении наблюдается левосторонняя (отрицательная асимметрия)

Кроме центрального момента расчет асимметрия можно провести, используя моду или медиану:  либо .

Для данного метода расчета: если , в распределении наблюдается правосторонняя (положительная асимметрия), если , в распределении наблюдается левосторонняя (отрицательная асимметрия) (рис. 4).

Рис. 4. Асимметричные распределения

Величина, показывающая «крутость» распределения, называется коэффициентом эксцесса: .

Если , в распределении наблюдается островершинность – эксцесс положительный, если , в распределении наблюдается плосковершинность – эксцесс отрицательный (рис. 5).

Рис. 5. Эксцессы распределения

Пример 5.Имеются данные о количестве овец  по хозяйствам района (табл. 9).

Таблица 9

№	тыс.голов.	№	тыс.голов.	№	тыс.голов.
1	2,0	5	3,0	9	5,5
2	2,5	6	4,0	10	6,0
3	2,5	7	5,5	11	6,5
4	3,0	8	5,5	12	7,0

Рассчитать.

1. Среднее количество овец в расчете на одно хозяйство.

2. Моду.

3. Медиану.

4. Показатели вариации

· дисперсию;

· стандартное отклонение;

· коэффициент вариации.

5. Показатели асимметрии и эксцесса.

Решение.

1. Так как значение варианты  в совокупности повторяется по несколько раз, с определенной частотой  для расчета среднего значения используем формулу среднюю арифметическую взвешенную:

2. Данный ряд является дискретным, поэтому модой будет варианта с наибольшей частотой – .

3. Данный ряд является четным, в этом случае медиану для дискретного ряда находят по формуле:

То есть, половина хозяйств в исследуемой совокупности имеют количество овец до 4,75тыс. голов, а половина свыше данной численности.

4. Для расчета показателей вариации составим таблицу 10, в которой рассчитаем отклонения , квадраты данных отклонений , расчет можно провести как по простым, так и по взвешенным формулам расчета (в примере используем простую):

Таблица 10

№
1	2,00	-2,42	5,84
2	2,50	-1,92	3,67
3	2,50	-1,92	3,67
4	3,00	-1,42	2,01
5	3,00	-1,42	2,01
6	4,00	-0,42	0,17
7	5,50	1,08	1,17
8	5,50	1,08	1,17
9	5,50	1,08	1,17
10	6,00	1,58	2,51
11	6,50	2,08	4,34
12	7,00	2,58	6,67
Итого	53,00	0,00	34,42
В среднем	4,4167

Рассчитаем дисперсию:

Рассчитаем стандартное отклонение:

Рассчитаем коэффициент вариации:

5. Для расчета показателей асимметрии и эксцесса построим таблицу 11, в которой рассчитаем , ,

Таблица 11

№
1	2,00	-2,42	-14,11	34,11
2	2,50	-1,92	-7,04	13,50
3	2,50	-1,92	-7,04	13,50
4	3,00	-1,42	-2,84	4,03
5	3,00	-1,42	-2,84	4,03
6	4,00	-0,42	-0,07	0,03
7	5,50	1,08	1,27	1,38
8	5,50	1,08	1,27	1,38
9	5,50	1,08	1,27	1,38
10	6,00	1,58	3,97	6,28
11	6,50	2,08	9,04	18,84
12	7,00	2,58	17,24	44,53
Итого	53,00	0,00	0,11	142,98
В среднем	4,4167

Асимметрия распределения равна:

То есть, наблюдается левосторонняя асимметрия, так как , что подтверждается и при расчете по формуле:

В этом случае , что для данной формулы так же указывает на левостороннюю асимметрию

Эксцесс распределения равен:

В нашем случае эксцесс отрицательный, то есть наблюдается плосковеншинность.

Пример 6. По хозяйству представлены данные о заработной плате работников (табл. 12)

Таблица 12

Интервал по заработной плате, руб./чел.	Количество работников	Кумулятивная частота
3000-3200	15	15
3200-3400	17	32
3400-3600	25	57
3600-3800	68	125
3800-4000	29	154
Итого	154	-

Рассчитать моду и медиану.

Решение.

Для интервального вариационного ряда мода рассчитывается по формуле:

где модальный интервал – интервал с наибольшей частотой, в нашем случае 3600-3800, с частотой

 - минимальная граница модального интервала (3600);

 - величина модального интервала (200);

 - частота интервала предшествующая модальному интервалу (25);

 - частота следующего за модальным интервалом (29);

 - частота модального интервала (68).

Для интервального вариационного ряда медиана рассчитывается по формуле:

где медианный интервал это интервал, кумулятивная (накопленная) частота которого равна или превышает половину суммы частот, в нашем примере это 3600-3800.

 - минимальная граница медианного интервала (3600);

 - величина медианного интервала (200);

- сумма частот ряда (154);

 - сумма накопленных частот, всех интервалов, предшествующих медианному (57);

 – частота медианного интервала (125).

Пример 7. По трем хозяйствам одного района имеются сведения о фондоемкости продукции (количество затрат основных фондов на 1руб. произведенной продукции): I – 1,29 руб., II – 1,32 руб., III – 1,27руб. Необходимо рассчитать среднюю фондоемкость.

Решение. Так как фондоемкость обратный показатель оборота капитала используем формулу среднюю гармоническую простую.

Пример 8. По трем хозяйствам одного района имеются данные о валовом сборе зерновых  и средней урожайности (табл. 13).

Таблица 13

Хозяйство	Валовой сбор ц.	Урожайность ц/га.
I	440000	24
II	380000	19
III	510000	21

Необходимо рассчитать среднюю урожайность по хозяйствам.

Решение. Расчет средней урожайности по средней арифметической невозможен, так как отсутствуют сведения о количестве посевных площадей , поэтому используем формулу средней гармонической взвешенной:

Пример 9.Имеются данные о средней урожайности картофеля на отдельных участках и количестве окучиваний (табл. 14)   

Таблица 14

Проведем группировку данных (табл. 15):

Таблица 15

Группировка участков по признаку «число прополок»

Количество окучиваний	Число участков	Урожайность, ц./га.	Групповая средняя
1	5	63, 68, 69, 65, 67	66,4
2	7	72, 74, 70, 74, 68, 72, 73	71,8571

1. Рассчитаем общую дисперсию выборки (табл. 16):

Таблица 16

№	Урожайность, ц./га
1	63	69,58333	-6,58333	43,3402
2	68		-1,58333	2,5069
3	72		2,41667	5,8403
4	74		4,41667	19,5070
5	70		0,41667	0,1736
6	69		-0,58333	0,3403
7	65		-4,58333	21,0069
8	68		-1,58333	2,5069
9	74		4,41667	19,5070
10	67		-2,58333	6,6736
11	72		2,41667	5,8403
12	73		3,41667	11,6736
Итого			0,00000	138,9167

2. Рассчитаем дисперсию для каждой группы:

I. Группа с числом окучиваний - 1(табл. 17)

Таблица 17

№	Урожайность, ц./га.
1	63	66,4	-3,40	11,56
2	68		1,60	2,56
3	69		2,60	6,76
4	65		-1,40	1,96
5	67		0,60	0,36
Итого				23,20

II. Группа с числом окучиваний равным 2 (табл. 18)

Таблица 18

№	Урожайность, ц./га.
1	72	71,8571	0,1429	0,02
2	74		2,1429	4,59
3	70		-1,8571	3,45
4	74		2,1429	4,59
5	68		-3,8571	14,88
6	72		0,1429	0,02
7	73		1,1429	1,31
Итого				28,86

3. Рассчитаем среднюю внутригрупповую дисперсию:

.

4. Найдем межгрупповую дисперсию. В соответствии с законом сложения дисперсии:

, отсюда

5. Рассчитаем корреляционное отношение:

.

То есть, фактор, положенный в основу группировки (число окучиваний) оказывает среднее влияние на результат (урожайность).