Кручение стержней круглого поперечного сечения

Условие задания. К стальному валу приложены три момента (рис.13).

Требуется:

- построить эпюру крутящих моментов;

- при заданных значениях [ ] и [ ] определить диаметр вала из расчета на прочность и жесткость:

- построить эпюру углов закручивания.

Методические указания к решению задачи

а) Строится эпюра крутящих моментов.

Для этого необходимо:

1) Определить количество участков. Границами участков является вновь приложенные силовые факторы (скручивающие моменты).

2) В пределах каждого участка провести произвольное сечение и обозначить его от некоторого начала координат через х_i. Начало координат может оставаться неизменным, но может изменяться. За начало координат принимаются границы участков.

3) Для определения крутящего момента для каждого участка составляется уравнение равновесия в виде  (ось X направлена по оси стержня). В сумму моментов входят все моменты (скручивающие и крутящий) на длине х_i. Правило законов: момент, действующий против часовой стрелки при взгляде со стороны внешней нормами к сечению, считается положительным, по часовой стрелке - отрицательным.

4) По найденным значениям  строится эпюра . Положительные значения  откладываются от нулевой линии (ось X) вверх, отрицательные - вниз.

Примечание:

1. В сечениях, где приложены скручивающие моменты, на эпюре  должны быть скачки на величину скручивающих моментов М_k=const.

2.В пределах участка строится эпюра углов закручивания . Эпюра ограничена прямыми линиями. На участках, где >0, угол наклона прямых, ограничивающих эпюру , с осью Х - острый, положительный при направлении оси X слева направо; на участках где <0 - тупой.

3) Определяется диаметр вала из расчета на прочность.

4) Определяется диаметр вала из расчета на жесткость.

5) Из двух диаметров выбирается больший и округляется до ближайшего большего по ГОСТу.

Пример

К стальному валу приложены три момента (рис.13).

- построить эпюру крутящих моментов;

- при заданных значениях  и определить диаметр вала из расчета на прочность и жесткость:

- построить эпюру углов закручивания.

ДАНО:

М₁=2000Н∙м; М₂=1000Н∙м; М₃=2000Н∙м

α=2,0м; в=1,0м; с=1,0м; [ ]=100 МПа

[ =0,3 град/м=0,00523 рад/м; G=8∙10⁴МПа.

Решение:

Строим эпюру крутящего момента.

В пределах каждого участка проводим произвольные сечения

х₁(o ₁ c);  х₂ (о х₂ в);    х₃ (о х₃ а)                (6.1)

Определяем крутящий момент на первом участке

            (6.2)

На втором участке

 (6.3)

На третьем участке

    (6.4)

По полученным значениям  в масштабе строим эпюру .

Определяем диаметр вала из расчета на прочность

                                      (6.5)

Определяем диаметр вала из расчета на жесткость

                                     (6.6)

Принимаем диаметр вала d=95 мм. Строим эпюру углов закручивания. Угол закручивания на длине Х определяется по формуле

                                      (6.7)

В защемлении

В сечении, где приложен внешний момент М₁

                                        (6.8)

где  – полярный момент инерции

Таким образом

В сечении, где приложен момент М₂

                                (6.9)

Рисунок 13 –Эпюры крутящего момента и углов закручивания

 при кручении вала

На свободном конце

Примечание: При определении угла φ нумерация крутящих моментов принята слева направо.

По полученным значениям угла φ  в масштабе строим эпюру углов закручивания (рис. 13).

           7. Расчет  статически  неопределимых стержневых систем

Условие задания. Для статически неопределимой рамы раскрыть степень статической неопределимости.

Схему рамы взять из рис.14 числовые данные – из табл. 5.

Таблица 5 - Данные для расчетно-графической работы №6

Варианты	q	M	P	h	L
	т/м	т	т	м	м
1-20	2	3	1	4	2
21-40	3	5	2	3	2
41-60	1	1	5	2	3
61-80	4	1,5	3	1,5	4
81-100	5	2	3	5	1
101-120	2	3	1	3	4
121-140	2	4	4	3	3
141-160	3	1	2	4	5
161-180	4	2	3	2	2

Содержание и порядок выполнения:

1. Начертить схему рамки с указанием численных значений размеров и нагрузок.

2. Установить степень статической неопределимости.

3. Выбрать и изобразить основную и эквивалентную системы.

4. Составить канонические уравнения и по способу Верещагина вычислить все перемещения (коэффициенты), входящие в них.

5. Определить величины лишних неизвестных, вычислить опорные реакции и построить эпюры продольных, поперечных сил и изгибающих моментов.

6. Проверить правильность определения величин лишних неизвестных, переумножая эпюры изгибающих моментов на эпюры единичных нагрузок.

Рисунок 14 – Расчетные схемы к РГР №6

Продолжение рисунка 14

Продолжение рисунка 14

Продолжение рисунка 14

Продолжение рисунка 14

7.1 Методические указания к решению задачи

а) Определяется степень статической неопределимости. Она равна разности между числом неизвестных и количеством уравнений равновесия статики.

б) Выбирается основная система. Она должна удовлетворять следующим двум условиям:

- она должна быть кинематически неизменяемой (не должна быть механизмом)

- она должна быть статически определимой на всех участках.

в) Составляются канонические уравнения по методу сил

                        (7.1)

Число этих уравнений совпадает с числом известных  (  меняется от 1 до n).

Коэффициенты канонических уравнений представляют из себя перемещения:

 - перемещение сечения, в котором приложен силовой фактор  в его направлении под действием единичного силового фактора, заменяющего  силовой фактор;

- перемещение сечения, в котором приложен силовой фактор  в его направлении под действием заданной нагрузки.

На основании теоремы о взаимности перемещений

                                          (7.2)

г) Определяются коэффициенты канонических уравнений. В случае, если элементы упругой системы представляют прямые стержни, то для определения коэффициентов канонических уравнений можно использовать способ Верещагина

                                        (7.3)

где  - площадь эпюры изгибающих моментов, от причины перемещения на -ом участке;

-ордината на эпюре единичных изгибающих моментов под центром тяжести эпюры изгибающих моментов от заданной нагрузки (от причины перемещения ) на -ом участке.

д) Решается система уравнений (7.1) и определяются “лишние” неизвестные .

После определения этих неизвестных упругая система становится статически определимой и построение эпюр N, Q и M производится в обычном порядке.

ПРИМЕР

Раскрыть статическую неопределимость рамы, изображенной на рис.15 и построить эпюры N, Q и M, если q=20 кН/м; h=4м, l=2. Жесткость ригеля и стойки равна EI.

Решение:

1. Определяем степень статической неопределимости 4-3=1

(четыре неизвестных Х_А, У_А, М_А, Х₁; 3 уравнения равновесия статики). Следовательно, задача один раз статически неопреде­лима.

2. Выбираем основную систему (рис. 16).

3. Составляем каноническое уравнение

                                       (7.4)

Коэффициенты канонического уравнения представляют из себя перемещения.

  - вертикальное перемещение точки В, обусловленное вертикаль­ной единичной силой, приложенной в точке В. Следовательно, чтобы найти это перемещение, необходимо решить задачу, представленную ниже.

 - будем искать по способу Верещагина.

                                   (7.5)

Здесь ₁, ₂ - площади эпюр изгибающих моментов от заданной нагрузки М(х) (от причины перемещения), в данном случае от единицы, на первом и втором участках (рис.17)

 - линейный закон.

 - строим эпюру  (рис. 17).

По методу Верещагина нужно ввести в рассмотрение вспомогательное единичное грузовое состояние, соответствующее искомой пропорции. Данное грузовое состояние будет таким же, как на рис. 17. Следовательно эпюра единичных изгибающих моментов  будет такой же, как и эпюра М(х)т.е.в данном случае эпюра умножается сама на себя. В рассматриваемом случае ₁=0;

 (площадь треугольника).

 – ордината на эпюре под центром, тяжести эпюры

Следовательно.

 –вертикальное перемещение точки В под действием заданной нагрузки.

Чтобы определить это перемещение необходимо решить следующую задачу, представленную на рис. 19.

                        (7.6)

 -квадратичный закон

 =const. Строим эпюру М(х)

По методу Верещагина вводим вспомогательное единичное грузовое состояние, соответствующее искомому перемещению. Указанное грузовое состояние представлено на рис. 17. Центр тяжести площади ₁ эпюры М(х) расположен на расстоянии 3h/4 от вершины (см. рис. 20)

=0

Центр тяжести площади ₂ находится посередине 2-го участка, поэтому = - l/2 (см. рис.20)

Следовательно,

Таким образом, на основании (7.4) будем иметь

Откуда                         

Знак «-» означает, что  на основной системе имеет противоположное направление.

Построение эпюр  N, Q и M:

участок 1:

0 ≤ х₁ ≤ h

 - линейный закон

- квадратичный закон

Участок 2:

                                 0≤х₂≤ l

 - линейный закон

В масштабе строим окончательные эпюры N, Q, M  (рис. 21…23).

 Рисунок15 Заданная система                    Рисунок 16 Основная система

Рисунок17 Единичное грузовое              Рисунок18  Эпюра изгибающего

                     состояние                            момента от единичной нагрузки

Рисунок 19   Заданное грузовое              Рисунок 20 Эпюра изгибающего

                      состояние                     момента от заданной нагрузки        

Рисунок 21 Эпюра       Рисунок 22 Эпюра         Рисунок 23  Эпюра

продольных сил            поперечных сил           изгибающих моментов