Методические указания к решению задачи

а) Вычертить в масштабе схему балки, оставляя под ней место для эпюр  и .

б) Определить опорные реакции (для балки конец защемленный, а другой свободный, реакции можно не определять).

в) На каждом участке (мысленно) рассечь балку на две части. Абсциссы сделанных сечений отчитываются от концов балки (для балки с одним защемленным концом отсчет абсциссы сделанных сечений вести от свободного конца): абсциссы сечений обозначаются буквой , где i - номер участка, на котором сделано сечение. Границами участка являются сечения, в которых меняется характер действующей на балку нагрузки.

г) Произвести расчёт поперечных сил и изгибающих моментов по участкам, записав вначале общие уравнения для поперечной силы и изгибающего момента на каждом участке. Построить эпюры поперечных сил  и изгибающих моментов  на каждом участке. Правила знаков: поперечная сила  положительна, когда на левой части бруса она направлена снизу вверх, а на правом - сверху вниз; изгибающий момент  в поперечном сечении считается положительным, когда концы бруса поднимаются, а отрицательным - опускаются. Правила определения внутренних усилий  и:поперечная сила  по величине и знаку равна сумме проекций всех внешних сил, приложенных по одну сторону от сечений, на нормаль У  к его продольной оси, проведенную в рассматриваемом поперечном сечении; изгибающий момент относительно центральной оси  произвольного поперечного сечения по величине и знаку равен сумме моментов относительно этой оси всех внешних сил, приложенных по одну сторону от сечения.

д) Определить размеры поперечного сечения балки по изгибающему моменту, взятом в опасном сечении .

е) Произвести проверку прочности балки по касательным напряжениям.

ж) Произвести полную проверку прочности балки по IV теории прочности.

з) Построить эпюру прогибов с помощью метода начальных параметров.

Пример

Условия задания. Для двутавровой балки, изображенной на рисунке 11, построить эпюры внутренных силовых факторов и подобрать номер профиля.

    Дано: Р = 10 кН; М = 40 кН м; q = 10 кН/м; = 4 м; = 2 м.

Требуется:

1. Написать выражения  и  для каждого участка в общем виде и построить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов;

2. Определить опасное сечение балки и подобрать номер профиля;

3. Выполнить полную проверку прочности балки, построить эпюры нормальных и касательных напряжений;

4. Построить эпюру прогибов с помощью метода начальных параметров.

Решение:

    1) Определяем реакции опор. Для этого составляем три уравнения равновесия:

                                     (5.1)

                         (5.2)

                  (5.3)

Из (5.3) уравнения определим :

Из (5.2) уравнения определим :

Проверка:

    Строим эпюру поперечных сил и изгибающих моментов. Для этого делим балку на участки и для каждого участка по отдельности составляем уравнение  и .

    I участок.   

     - линейный закон.

Это означает, что эпюра поперечных сил на I-ом участке будет ограничена прямой линией. Прямую линию можно провести через две точки, т.е. чтобы построить эпюру поперечных сил достаточно определить значение  при  и

    ;

    .

    - квадратичный закон.

Это означает, что эпюра изгибающих моментов на I-ом участке будет ограничена кривой линией (парабола). Кривую линию можно провести через три точки, т.е. чтобы построить эпюру изгибающих моментов необходимо определить значение  при  и  За третью точку берем то сечение, где поперечная сила равна нулю.

Тогда ;

    ;

    .

    II участок

     - const

    - линейный закон.

Тогда ;

    .

По полученным данным строим эпюру поперечных сил и изгибающих моментов (рис. 11, б, в).

2) Условие прочности при изгибе записывается в следующем виде:

,                                         (5.4)

где M_zmax – максимальный изгибающий момент, M_zmax=31,2 кНм   

             (рис. 11, в);

 - допускаемое напряжение, для стали =160 МПа.

тогда

По таблице (ГОСТ 8239-72) выбираем двутавр №20а, у которого =203см³; h=200мм; b=110мм; d=5,2мм; t=8,6мм; I_z=2030см⁴; S_z=114см³.

    3). Полная проверка прочности балки

а) по нормальным напряжениям:

в) по касательным напряжениям:

г) по главным напряжениям по четвертой теории прочности:

, где ,

    Проверка по главным напряжениям производится для характерных точек (1, 2, 3, 4) сечения, где и  имеет наибольшее значения (рис. 11, в). В данном случае это сечение В, где =15кН, =20 кНм.

Точка 1

, где         

, т.к S_z1 = 0.

тогда

Точка 2

где

тогда

Точка 3

Тогда

Точка 4

, т.к.  у₄ = 0.

Тогда

В опасном сечений опасной точкой является точка 1, где , т.е. условие прочности полностью выполняется.

Эпюры нормальных и касательных напряжений представлены на рисунке 12.

4). Построение эпюры прогибов.

Для определение прогибов балки используем универсальное уравнение изогнутой оси, написанное по методу начальных параметров:

        (6.4)

где  - начальные параметры, т.е. геометрические и силовые факторы в начале координат (при х = 0, определяемые из условия закрепления балки;  - заданные силовые факторы (в том числе и опорные реакции);  - расстояния от начало координат до сечений, в которых приложены сосредоточенные силы и моменты;  - расстояния от начало координат до сечений, где начинает своё действие распределенные нагрузки.

Примечание: 1). Знаки перед составляющими в уравнение (6.4) соответствуют к знакам изгибающих моментот от этих силовых факторов.

                   2). Распределенная нагрузка не должен прерываться.

    Знаки сумм распространяется на все нагрузки, расположенные слева от того сечения, для кторого находят прогиб. Поэтому за начало координат принимаем точку А. На участке АВ действует распределенная нагрузка, не доходящаядо конца балки. Её следует продолжить до конца балки, а чтобы не нарушить её условия работы-одновременно приложим нагрузку той же интенсивности и равную добавленной, но с обратным знаком.

Определяем все параметры, входящие в уравнение (6.4):

Тогда, для заданной балки уравнение прогибов будет:

   (7.4)

Это не окончательное уравнение прогибов, так как имеется один неизвестный начальный параметр . Неизвестный начальный параметр  найдем из условия на на правой опоре В: .

Тогда по уравнение (7.4):

  (8.4)

Теперь, подставив найденное значение начального параметра (8.4) в уравнение (7.4), получим окончательное уравнение прогибов для заданной балки:

       (9.4)

Для построение эпюры прогибов достаточно на пролете найти вертикальное перемещение сечений Е и С:

При ,

где - жесткость сечений балки.

при ,

По полученным данным строится эпюры прогибов (рис. 11, г).

Примечание: Методика исследование балки с помощью компьютерной программы представлены в приложении 5.

Рисунок 11 - Расчетная схема балки, эпюры поперечных

 сил, изгибающих моментов и прогиба

                                                            эп (МПа)       эп (МПа)            

Рисунок 12 - Эпюры нормальных и касательных напряжений