Методические указания к решению задачи

Задачи данной группы статически неопределимые, т.к. усилия в стержнях, удерживающих абсолютно жесткий брус, не могут быть опреде­лены из уравнений равновесия статики.

Для решения подобных задач необходимо:

а) проанализировать данные задачи и, при необходимости, ввести дополнительные обозначения;

б) отбросить все связи и заменить их действие на рассматриваемую систему соответствующими реакциями;

в) составить возможные уравнения равновесия статики и сравнивая их число с числом неизвестных сил, определить степень стати­ческой неопределимости;

г) составить недостающие уравнения перемещений;

д) преобразовать, на основе закона Гука, уравнения перемещений в уравнения совместности деформаций, связывающие неизвестные усилия;

е) решить совместно уравнения равновесия с уравнениями деформации и выразить усилия и напряжения в стержнях через силу Q;

ж) определить допускаемую нагрузку [Q], сравнивая полученные значения при расчете по двум методам: по допускаемому напряжению; по допускаемым нагрузкам.

Пример

Условие задания. Абсолютно жесткий брус опирается на шарнирно неподвижную опору и прикреплен к двум стержням при помощи шарниров (рис. 3, а).

Дано: =10см²; =15см²; =2 м; =3 м; =1,5 м; =30⁰; Материал стержней Ст 3.

Требуется:

1. Найти усилия и напряжения в стержнях, выразив их через силу Q;

2. Найти допускаемую нагрузку [Q_σ], приравняв большее из напряжений в двух стержнях допускаемому напряжению [σ]=160МПа;

3. Найти предельную грузоподъемность системы Q^к_т и допускаемую нагрузку [Q_р], если предел текучести σ_т=240МПа и коэффициент запаса прочности К_т=1,5;

4.Сравнить величины [Q], полученные при расчете по допускаемым напряжениям и допускаемым нагрузкам.

Решение:

Обозначаем порядковыми номерами: брус – 1; стержни – 2 и 3.

Мысленно отбрасываем связи, а их действия заменяем реакциями H_А, R_А, N₂, N₃ (рис. 3, а).

Составляем возможные для плоской системы уравнения равновесия бруса:

.                              (2.1)

.                       (2.2)

.                (2.3)

Условие прочности при растяжении:

.                                      (2.4)

Определяем степень статической неопределимости системы:

,                                             (2.5)

где m – число неизвестных сил, m = 5 (H_А, R_А, N₂, N₃, Q);

n – число уравнений, n = 4.

Тогда = 5 - 4 = 1, т.е. задача один раз статически неопределима.

Так как по условию задачи значение реакций опор H_А и R_А определять не надо, то в дальнейших расчетах используем только уравнение (2.3).

    Задачи данного типа решается двумя способами: по допускаемым напряжениям и по допускаемым нагрузкам.

1 способ

Рассмотрим возможную деформацию системы, для чего абсолютно жесткий брус повернем на весьма малый угол относительно шарнира «А». При этом точки В и С переместятся вертикально вниз на величины δ_В и δ_С и займут положение В^' и С^' (рис. 3, б). Вертикальные перемещения точек В и С между собой связаны зависимостью, следующей из подобия треугольников АВВ^' и АСС^'.

или

.                                  (2.6)

Вертикальные перемещение точек В и С связаны с абсолютными удлинениями стержней следующим образом:

,  .                                (2.7)

Совместно решая уравнения (2.6) и (2.7) получим:

.                                          (2.8)

Абсолютные удлинения выражены по закону Гука:

, .                                  (2.9)

Тогда уравнения (2.8) с учетом (2.9) примет вид:

.                                  (2.10)

Подставляя сюда числовые значения (Е₂ = Е₃ = Е) получим:

      или         .        (2.11)

Рассматривая совместно уравнения (2.3) и (2.11) определяем усилия в стержнях N₂ и N₃, выразив их через Q:

,

Отсюда , тогда                              (2.12)

Вычисляем напряжения в стержнях:

, .          (2.13)

Найдем допускаемую нагрузку [Q_σ], приравняв большее из напряжений в двух стержнях допускаемому напряжению [σ]:

,                                     (2.14)

или 

1280Q = [σ]

Откуда      

2 способ

При увеличении нагрузки напряжение в наиболее нагруженном стержне достигает предела текучести ранее, чем во втором. Когда это произойдет, напряжение в нем не будет некоторое время расти даже при увеличении нагрузки:

Усилие в стержне

.                                          (2.15)

При дальнейшим увеличении нагрузки (Q=Q^к_т) напряжение и в другом стержне достигнет предела текучести:

.                                          (2.16)

Подставив в уравнение статики (2.3) значения усилий (2.15) и (2.16), найдем предельную грузоподъемность системы:

. (2.17)

Допускаемая нагрузка [Q_р] при коэффициенте запаса прочности К_т=1,5:

.                           (2.18)

Данный способ применим только для пластичных материалов с длинной площадкой текучести. Окончательный выбор допустимого значения нагрузки [Q] производим сравнением  и . Определяем их соотношение

.                              (2.19)

Вывод:

1). При статически неопределимые конструкции пластичных материалов, имеющих площадку текучести, следует рассчитывать по методу допускаемых нагрузок. По сравнению с методом допускаемых напряжений, в этом случае обеспечивается экономия материала, а конструкция гарантирована от возникновения остаточных деформаций.

    2). При  указанные системы рассчитывать по методу допускаемых нагрузок нельзя, так как это приводит к появлению остаточных деформаций.

В данном случае , т.е 1,36 < 1,5

Тогда окончательно принимаем [Q]= , что обеспечивает максимально допустимую экономию материала и гарантирует конструкцию от появления остаточных деформаций.

Рисунок 3 – Расчетная схема  к примеру РГР №1

3.  Напряженное и деформированное состояние

Условие задания. Стальной кубик  находится под действием сил, создающих плоское напряженное состояние.

Произвести анализ плоского напряженного состояния в точке. Схему напряженного состояния взять из рис.4, числовые данные – из табл.2. Указание: В расчетах значения напряжения  и  используются со знаками, соответствующие их направлениям на схемах.

Требуется найти:

1. Главные напряжения и положение главных площадок.

2. Максимальное и минимальное касательные напряжения и положение их площадок.

3. Относительные деформации.

4. Относительное изменение объёма.

5. Удельную потенциальную энергию деформации.

6. Вычертить схему напряженного состояния со всеми числовыми данными.

Таблица 2 - Данные для расчетно-графической работы №2

Варианты
	МПа	МПа	МПа
1-20	70	60	50
21-40	80	70	60
41-60	90	80	70
61-80	100	90	80
81-100	100	80	90
101-120	70	60	50
121-140	50	40	30
141-160	30	20	10
161-180	50	40	30

 Рисунок 4 – Расчетные схемы к РГР №2

 Продолжение рисунка 4

Продолжение рисунка 4