Методические указания к решению задачи

а) Установить знаки  согласно заданной схеме: Растягивающее нормальное напряжение положительно «+», асжимающее  отрицательно «-». Касательное напряжение по боковой грани стального кубика положительно «+», если изображающий его вектор стремится вращать кубик по часовой стрелке относительно любой точки, лежащей внутри его, а против часовой стрелки - отрицательно «-»;

б) вычислить величины  и ; рассматривая их соотношения совместно с , присвоить индексы главным напряжениям ( );

в) вычислить значения  и , определяющих положения главных площадок; проверить подученные значения , , ,  и указать на чертеже главные площадки;

г) определить максимальное и минимальное касательное напряжение и показать на чертеже площадки через , , на которые они действуют;

д) вычислить по обобщенному закону Гука относительные деформации ;

е) вычислить относительное изменение объема;

ж) вычислить удельную потенциальную энергию деформации.

Пример

Стальной кубик (рис.5) находится под действием сил, создающих плоское напряженное состояние.

Требуется найти:

- главные напряжения и положение главных площадок;

- максимальное и минимальное касательные напряжения и положение их площадок;

- относительные деформации;

- относительное изменение объёма;

- удельную потенциальную энергию деформации;

ДАНО:

=200 H/м² ; = -100 H/м² ; = -200 H/м²;

E=2 10⁵MПа; µ=0,3

Решение:

Вычисляем главные напряжения  и  

                     (3.1)

Рассматривая полученные величины, совместно , учитывая , присвоим индексы главным напряжениям

Найдем положение главных площадок

                           (3.2)

ПРОВЕРКА:

                     (3.3)

В формулу (3.3)рекомендуется подставить значение острого положительного угла.

ВЫВОД: Углы и  определены правильно, т.к. при под­становке значения угла  в формулу (3.3),получили . Зна­чит, главное напряжение  действует по площадке, которая расположена под углом  относительно вертикальной. Положитель­ный угол  откладываем  против часовой стрелки от вертикальной площадки (см. рис.6). Определяем максимальное касательное напря­жение

      (3.4)

Площадки, по которым действуют ,располагаются под углом  к главным площадкам.

Тогда:

                    (3.5)

ПРОВЕРКА:

                   (3.6)

ВЫВОД: Угол определен правильно и под этим углом находится площадка, по которой действует  

Вычисляем относительные деформации по формулам

                            (3.7)

Подставляя значения , получим

Найдем относительное изменение объема

    (3.8)

    ПРОВЕРКА:

(3.9)

Удельная потенциальная энергия деформации

      (3.10)

Рисунок 5 – Заданное напряженное состояние

Рисунок 6 – Графическое изображение положения

               главных площадок и площадок сдвига.

4. Геометрические характеристики плоских сечений

    Условие задания. Для заданного сложного сечения, состоящего из двутавра и прямоугольного листа определить основные геометрические характеристики.

Примечание. Тип сечения взять из рис. 7, номер прокатных профилей и размеры прямоугольного листа – из табл. 3, сведения о геометрических характеристиках прокатных профилей – по приложениям 1, 3, 4 (ГОСТ 8509-72, ГОСТ 8239-72, ГОСТ 8240-72)

Таблица 3 - Данные для расчетно-графической работы №3

Содержание и порядок выполнения:

1. Вычертить сечение в масштабе 1:2 с указанием численных значений размеров и осей.

2. Выписать геометрические характеристики прокатных профилей.

3. Определить положение центра тяжести сложного сечения.

4. Найти величины осевых и центробежных моментов инерций относительно центральных осей.

5. Определить направление (положение) главных центральных осей.

6. Найти величины моментов инерций относительно главных центральных осей.

Рисунок 7 – Расчетные схемы к РГР №3

Продолжение рисунка 7

Продолжение рисунка 7

Продолжение рисунка 7

Продолжение рисунка 7

4.1 Методические указания к решению задачи

а) Выписать из таблицы ГОСТов для прокатных профилей необходимые размеры, характеристики;

б) вычертить заданное сечение в масштабе на формате А4, указав все необходимые размеры сечения;

в) разбить сложное сечение на простейшие фигуры и выбрать случайные (вспомогательные) оси Z_o и Y_o. Случайные оси Z_o и Y_o проводить через сечения произвольно;

г) определить площади и положение центров тяжести составных частей cечения по отношению к осям Z_o и Y_o, через центры тяжести отдельных фигур (С₁, С₂, С_i) провести собственные центральные оси Z_i и Y_i параллельно вспомогательным осям Z_o и Y_o;

д) определить положение центра тяжести всего составного сечения относительно случайных осей Z_o и Y_o и проверить графически;

е) провести центральные оси Z_С и Y_С через центр тяжести заданного сечения параллельно вспомогательным осям Z_o и Y_o, проставить величины координат общего центра тяжести на чертеже;

ж) определить и указать на чертеже координаты a_i и b_i центра тя­жести каждой простейшей фигуры или прокатного профиля относительно осей Z_с и Y_c;

з) вычислить осевые моменты инерции  и , центробежный момент инерции  сечения относительно центральных осей Z_c и Y_c. Обратить внимание! Значения осевых моментов инерции всегда имеют знак «+», а центробежные «+» или «-»;

и) определить положение главных центральных осей инерции сечения α₁ и α₂. При положительных значениях углов центральные оси Z_c  и Y_c для определения положения главных осей инерции, следует повернуть на их величины против вращения часовой стрелки, а если отрицательное - то по вращению часовой стрелки;

к) нанести главные оси на чертеже и обозначить их через U, V: ось максимум всегда составляет меньший угол с той из осей (Z_c или Y_c), относительно которой осевой момент инерции имеет большее значение. Так, например, если > ,то ось U являетcя осью максимум и образует с осю Zc меньший угол;          

л) вычислить величины главных центральных моментов инерции сечения , ;

м) проверить правильность расчета определением центробежного момента инерции сечения относительно осей инерции U и V; Условие правильности - =0.

ПРИМЕР

Условие задания. Для заданного сложного сечения, состоящего из швеллера, вертикального листа и равнобокого уголка (рис.8), требуется найти:

1.Определить положение центра тяжести;

2. Найти величины осевых и центробежного моментов инерции относительно центральных осей, проходящих через центр тяжести (  и );

3. Определить направление главных центральных осей;

4. Найти величины моментов инерции относительно главных центральных осей;

5. Вычертить сечение в масштабе 1:2 и указать на нем все размеры в числах и все оси.

Решение

Выписываем необходимые данные из сортамента:

для швеллера №16:

для вертикального листа:

для равнобокого уголка 80×80×6

Вычертим заданное составное сечение в масштабе 1:2, указав размеры (рис. 8). Для определения центра тяжести составного сечения проводим вспомогательные координатные оси

                                      (4.1)

                                     (4.2)

где  - площадь  части сечения;

 - координаты центра тяжести площади  части сечения;

Тогда:

Координаты центра тяжести площади сложного сечения относительно осей

Полученные значения  и  указываем на чертеже и производим проверку правильности определения их значений графически (через отношения площадей отдельных фигур, рис. 8)

Осевые и центробежные моменты инерции сложного сечения относительно его центральных осей  и  вычисляются по формулам параллельного переноса как сумма соответствующих моментов составляющих сечение частей

                                  (4.3)

                                  (4.4)

                              (4.5)

где  - осевые и центробежные моменты инерции площади

 части сечения относительно собственных центральных осей инерции  и  параллельных осям , ;

 - расстояние от осей  и  до соответствующих параллельных осей  части сечения.

Величины  и определяем по следующим зависимостям

                                        (4.6)

                                        (4.7)

Вычисляем их значения

Тогда осевые моменты инерции

где  - осевые моменты инерции вертикального листа относительно собственных осей  и ;

Центробежные моменты инерции

Здесь , так как для швеллера, вертикального листа одна или две собственные центральные оси являются осями симметрии.

Определим центробежный момент инерции равнобокого уголка относительно центральных осей , ;

Рисунок 9 – Схема для определе ния центробежного момента инерции равнобокого уголка

                     (4.8)

где - осевые моменты инерции равнобокого уголка относительно главных осей инерции;

 - центробежный момент инерции равнобокого уголка относительно главных осей инерции  и ;

 - угол между главной центральной осью   и осью ;

  , т.к. оси  для уголка являются главными центральными. Условимся при определении положительных главных осей инерции равнобокого уголка ось  всегда направлять в правую сторону от оси .

Угол  считается положительным, если для совмещения оси  с горизонтальной осью  вращение осуществляется против хода часовой стрелки.

Поэтому угол

Следовательно,

Окончательно имеем:

Определяем положение главных центральных осей сечения

                                    (4.9)

,

Откуда

Так как , то с осью   угол   образует ось , относительно которой осевой момент инерции имеет максимальное значение. Угол  то откладываем его от оси   против хода часовой стрелки, проводим на чертеже главные центральные оси  и

Величину главных моментов инерции вычисляем по формуле:

                (4.10)

;

Произведем проверку правильности вычисления положения главных осей и величины главных центральных моментов инерции сечения, для чего вычисляем центробежный момент инерции сечения относительно главных осей  и

Все проверки указывают на правильное решение задачи.

Рисунок 8 – Расчетная схема к определению геометрических характеристик сложного сечения

5. Изгиб прямых брусьев

Условие задания. Для двутавровой балки, изображенной на рисунке, построить эпюры внутренных силовых факторов и подобрать номер профиля.

Схему взять из рис. 10, числовые данные – из табл. 4

Таблица 4 - Данные для расчетно-графической работы №4

Варианты	P	M	q	a	b
	т	т	т/м	м	м
1-24	2	1	3	1,5	1,2
25-48	3	2	1	2	1,7
49-72	1	2	2	2	1,8
73-96	4	1	1,5	1	2
97-120	3	1	1	1	1,5
121-144	2	1	2	1	3
145-168	2	3	2,5	2	1,6
169-192	3	1	2	1,5	2
193-216	4	3	2,5	3	1

Содержание и порядок выполнения:

1. Вычертить схему балки с указанием численных значений размеров и нагрузок.

2. Составить уравнения поперечных сил и изгибающих моментов.

3. Построить эпюры  и .

4. Определить опасное сечение балки и подобрать номер профиля.

5. В опасном сечении найти наиболее напряженную точку и выполнить полную проверку прочности балки.

6. Построить эпюры  и  для опасного сечения.

7. Построить эпюру прогибов с помощью метода начальных параметров.

Рисунок 10 – Расчетные схемы к РГР №4

Продолжение рисунка 10

Продолжение рисунка 10

Продолжение рисунка 10

 Продолжение рисунка 10

 Продолжение рисунка 10