Решение системы нелинейных уравнений методом Ньютона

Система нелинейных уравнений решается методом Ньютона аналогично.

Пусть дана система нелинейных уравнений

f₁(х₁, . . ., х_n)=0;

f₂(x₁, . . ., х_n)=0;

… … …;

f_n(х₁, . . . , х_n)=0.

Эта система заменяется системой линеаризованных уравнений

;

;

…     …       …        …        …       ;

.

В матричном виде система (2) записывается

         …            ∆х₁         f₁(х₁, х₂, …, х_n)

          …       х   ∆х₂ =  f₂(х₁, х₂, …, х_n)

…           …     … …         …          …

        …             ∆х_n       f_n(х₁, х₂, …, х_n)   

или в общем матричном виде

,                                                                                                             (8)

где  - матрица Якоби; ∆х – вектор-столбец поправок; F(х) – вектор-столбец невязок.

Данная система линейных уравнений может быть решена любым известным численным методом (например, методом Гаусса).

Алгоритм решения системы нелинейных уравнений методом Ньютона состоит из следующих действий:

1. Зададим начальные приближения , , …, .
2. Вычислим невязки f₁(х₁, х₂, …, х_n), f₂(х₁, х₂, …, х_n), …, f_n(х₁, х₂, …, х_n).
3. Вычислим все элементы матрицы частных производных  при х₁= , х₂= , …, х_n= .
4. Найдем поправки , , …,

Для этого решим систему линейных уравнений

численным методом относительно поправок ∆х⁽¹⁾.

1. Определим новые приближения

1. Вычислим невязки f₁(х₁,…, х_n), f₂(х₁,…, х_n), …, f_n(х₁,…, х_n)
2. Проверим условия

|f₁(х₁,…, х_n)|≤ε₁;

|f_n(х₁,…, х_n) )|≤ε_n.

Если не выполняется хотя бы одно из n условий, то производим следующую итерацию – повторяем действия 3-7, уже используя полученные значения , , …, . Итерационный процесс нахождения корней системы нелинейных уравнений будем продолжать до выполнения всех условий без исключения.

Метод Ньютона эффективен в том случае, когда известны хорошие начальные приближения неизвестных, достаточно близкие к корням системы нелинейных уравнений. Это условие в наших задачах, как правило, удается выполнить.

Пример: нужно решить систему нелинейных уравнений

             (при ε=0,01)

0 итерация  1. ;    2. ;

1 итерация

1.  

2.  х  =         или   ;

Отсюда ;  .

3. ;

.

4. ;          |0,01667|>ε

;         |0,114|>ε

2 итерация

1.

 2.  х  = ;       

3. ;

;

4.                 0,0002714<ε

      0,0000071<ε

Результаты расчетов сведем в таблицу

№ итерации		∆х		хк		f(к)
0	-	-		0	0	9	1
1		0,1667	-1,125	-0,1667	1,125	0,01667	0,114
2		-0,0191	-0,0016	-0,1476	1,1266	0,0002714	0,0000071