Студопедия КАТЕГОРИИ: АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция |
Решение нелинейного уравнения методом Ньютона
Рассмотрим применение метода Ньютона сначала для решения одного нелинейного уравнения f(х)=0, где f(х) - непрерывно дифференцируемая функция. Функцию f(х) можно разложить в ряд Тейлора в окрестностях произвольно взятой точки х(0) . (1) Если в многочлене (1) отбросить производные высших порядков и оставить только линейные члены, то получим , (2) где - называется поправкой. Эта операция называется линеаризацией нелинейного уравнения. Из линеаризованного уравнения (2) можно выразить поправку (3) и вычислить новое (первое) приближение к корню . (4) Если подставить значение в f(х), то получим невязку . По величине невязки можно судить о близости к корню. Если невязка значительно отличается от нуля, то требуется вычислять новую поправку , подставляя в линеаризованное уравнение (2) значение . Вычислительная процедура повторяется до тех пор, пока очередная невязка не станет достаточно близкой к нулю. Таким образом, суть метода Ньютона заключается в линеаризации нелинейного уравнения и решении полученного линейного уравнения на каждой итерации. Значение корня линейного уравнения является очередным приближением к корню решаемого нелинейного уравнения. Графическая иллюстрация применения метода Ньютона для решения нелинейного уравнения f(х)=0 дана на рисунке.
Как видно из рисунка, к действительному корню нелинейного уравнения приближаемся последовательно от заданного начального приближения х(0). Алгоритм решения нелинейного уравнения f(х)=0 методом Ньютона состоит из следующих действий: 1. Задаем начальное приближение х(0). 2. Вычисляем невязку f(х(0)). 3. Определяем - значение производной (как тангенс угла , образованного касательной к кривой в точке В с осью х). 4. Вычисляем поправку ∆х(1) (как катет АС прямоугольного треугольника АВС). . 5.
6. Вычисляем невязку f(х(1)) и проверяем условие ε. Если условие выполняется, то вычислительный процесс заканчивается, в противном случае повторяем действия начиная с 3-го. Примечание: 1. Значение ε задается в каждом конкретном случае и не должно быть равным нулю, так как итерационный метод не позволяет определить абсолютно точное значение корня (это обычно практически не требуется). Неоправданное снижение значения ε не рекомендуется, поскольку при этом увеличивается число итераций. 2. Если у функции f(х)=0 имеется несколько корней, то метод Ньютона позволяет найти вещественный корень и причем только один в области притяжения которого находится начальное приближение.
Пример: нужно решить нелинейное уравнение 7х3+5х-1=0 (ε = 0,01) 0 итерация 1. х(0)=0 Зададим х(0)=0 2. |f(х(0))=1|>ε | Начальная невязка f(х(0))=1| ≥ε 1 итерация 1. 2. 3. х(1)=х(0)-∆х(1)=0-(-0,2)=0,2 4. f(x(1))=7∙0,23+5∙0,2-1=0,056 |0,056| > ε 2 итерация 1. 2. 3. х(2)=х(1)-∆х(2)=0,2-0,01=0,19 4. f(x(2))=7∙0,193+5∙0,19-1=0,048+0,95-1=0,002 |0,002|< ε Результаты расчетов целесообразно представить в следующей таблице
|
|||||||||||||||||||||||||||
Последнее изменение этой страницы: 2018-04-12; просмотров: 354. stydopedya.ru не претендует на авторское право материалов, которые вылажены, но предоставляет бесплатный доступ к ним. В случае нарушения авторского права или персональных данных напишите сюда... |