Третий способ вычисления определителя

Самый лучший способ вычисления определителя для матриц большой размерности и если элементы являются нецелыми числами, заключается в преобразовании данной квадратной матрицы к треугольному виду, т.е. к такому виду, когда у полученной после преобразования матрицы все элементы сверху или снизу главной диагонали являются нулевыми

.

Определитель искомой квадратной матрицы А равен произведению диагональных элементов полученной треугольной матрицы

                      .

Преобразование квадратной матрицы к треугольному виду рассмотрим позднее («прямой ход» методом Гаусса).

Действия с матрицами

1. Сумма и разность матриц.

Могут складываться и вычитаться матрицы только одинакового типа.

Из сложения матриц вытекают следующие свойства:

1) А+(В+С)=(А+В)+С;

2) А+В=В+А;

3) А+0=А.

      2.     Умножение матрицы на скаляр.

Отсюда:    1) 1А=А;                           2) 0А=0;

                   3) α (β А) = (α_β) А;           4) αА + βА = (α+β) А;

                   5) α (А+В) = αА + αА;

       3.  Умножение матриц А * В = С.

Перемножать матрицы можно только в том случае, если число столбцов первой матрицы равно числу строк второй матрицы, т.е. g=p, а число строк первой матрицы и число столбцов второй матрицы могут быть любые, т.е. m≠n. Результатом будет матрица С размерностью mn, элементы которой

Для вычисления элемента, стоящего в i-й строке и j-м столбце произведения двух матриц, нужно элементы i-ой строки первой матрицы умножить на соответствующие элементы j-го столбца второй матрицы и полученные произведения сложить.

       Свойства:

1) А(ВС)=(АВ)С;

2) α(АВ)=(αА)В;

3) (А+В)=АС+АВ.

4)

Запомнить, что в общем случае 4) АВ≠ВА.

       Пример:

В тех частных случаях, когда АВ=ВА, матрицы А и В называются перестановочными. Например, единичная матрица Е перестановочна с любой матрицей А того же порядка.

АЕ=ЕА=А.

       Единичная матрица Е играет роль единицы при умножении.

Транспонированная матрица

       Если в матрице строки и столбцы поменять местами, то получим транспонированную матрицу.

Свойства:

1) дважды транспонированная матрица равна исходной

А^{‌ ‌} = (А^‌ )^‌ = А;

2) (А+В)^‌ =А^‌ + В^‌ ;

3) (АВ)^‌ =В^‌ А^‌ , т.е. (АВ)^‌ ≠ А^‌ В^‌ ;

4) Если А^‌ =А, то матрица А^‌ - симметричная

(а_ij = a_ji)

Обратная матрица

       Обратной матрицей по отношению к данной квадратной, называется матрица, которая, будучи умноженной как справа, так и слева на данную матрицу, дает единичную матрицу. Обозначим для матрица А обратную ей матрицу через А^-1.

АА^-1=А^-1А=Е.

       Нахождение обратной матрицы для данной называется обращением данной матрицы.

       Квадратная матрица называется неособенной, если ее определитель не равен нулю, в противном случае матрица называется особенной или сингулярной. Обратная матрица имеет только у неособенной матрицы.

       Пусть имеем матричное равенство

АС=В.

       Умножим правую и левую часть равенства на обратную матрицу А^-1

                                    А^-1АС= А^-1В.

       Поскольку известно, что А^-1А=Е, то

                                          ЕС= А^-1В.

       И поскольку известно, что ЕС=С, то

                                             С= А^-1В.

       То есть, мы равенство АС=В преобразовали в равенство С= А^-1В, выразив матрицу С.

       Если бы у нас были простые алгебраические числа а, b и с, то аналогичные преобразования были бы следующие: .

       Сравнив преобразования для алгебраических чисел и матриц видим, что обращение матрицы соответствует действию деления. Поэтому понятна необходимость в обратной матрице, в ее вычислениях.