Линейные дифференциальные уравнения

1. ЛОДУ 2П с постоянными коэффициентами 

2. ЛОДУ n-го порядка с постоянными коэффициентами                                 

3. Линейные неоднородные ДУ, структура общего решения

4. ЛНДУ 2П с постоянными коэффициентами и специальной правой частью 

5. Метод вариации произвольных постоянных

Цель занятия: Изучить понятие неоднородного дифференциального уравнения, научиться решать линейные дифференциальные уравнения.

Роль и место лекции

В предыдущей лекции были представлены методы понижения порядка ДУ, а так же структура общего решения линейного однородного (без правой части) ДУ второго порядка. Однако не были рассмотрены методы получения линейно независимых решений, а так же не была рассмотрена структура общего решения линейного неоднородного (с правой частью) ДУ. Этим вопросам будет посвящена данная лекция. Представленный материал, прежде всего, необходим при изучении темы «Системы ДУ» и «Элементы теории поля». Кроме того, подобные типы ДУ наиболее часто встречаются при решении прикладных задач. Таких, например как вопросы роста популяции, распространения эпидемии, рационального хозяйствования ресурсов и др. 

Вопрос № 1. ЛОДУ 2П с постоянными коэффициентами

Частным случаем линейного однородного ДУ 2-го порядка является ЛОДУ 2-го порядка с постоянными коэффициентами

 ,                      (1)

где p и q – постоянные величины. Найдем решение ДУ (1) в виде  ,                                              (2)

 где k такое, что выражение (2) удовлетворяет уравнению (1). Подставим   и  в (1) и получим , откуда

                                        (3).

Определение № 1.

Квадратное уравнение  для определения коэффициента k функции  называется характеристическим уравнением ЛОДУ (1).

Правило!!!

Чтобы составить характеристическое уравнение данного ДУ надо заменить  на ,  на  и  на 1.

Построение общего решения (1) зависит от корней характеристического уравнения.

1.1. Случай

Пусть корни характеристического уравнения (3) действительны и различны . Следовательно, как минимум есть два линейно независимых решения  и , поскольку . По теореме о структуре общего решения (см. Л. 53) имеем

.                 (4)

1.2. Случай

Пусть корни характеристического уравнения (3) действительны и равны . Тогда выбранные ранее функции являются линейно зависимыми = . Возьмем другую функцию , тогда функции  и  будут линейно независимые. Покажем, что  удовлетворяет (1). Подставим ,  в выражение (1). Получим , сократим на . Сгруппируем . Согласно (3)  так как  – единственный корень характеристического уравнения, тогда по теореме Виета , откуда вторая часть равенства  и функция  является решение (1). Тогда общее решение (1)

.           (5)

1.3. Случай корни комплексные (сопряженные)

Пусть , тогда  и . На основании свойств ЛОДУ решения будут так же функции  и . Легко заметить, что эти функции линейно не зависимы, т. е. . Тогда общим решением ДУ (1) будет выражение

. (6)

1.4. Таблица решений ЛОДУ 2П

Таблица 1.

Корни характеристического уравнения	Вид общего решения ЛОДУ 2П с постоянными коэффициентами
– веществ.
– веществ.
– комплексные

Вопрос № 2. ЛОДУ n-го порядка с постоянными коэффициентами

Определение № 2.

Линейным однородным ДУ n-го порядка с постоянными коэффициентами называется уравнение вида .

Обобщая проведенные ранее рассуждения, запишем характеристическое уравнение для такого ДУ в виде , которое имеет n корней , среди которых могут быть равные между собой и комплексные.

Определение № 3

Количество равных корней между собой называются кратностью одного корня. Так уравнение  имеет два равных корня  один корень  с кратностью .

Вывод!!!

Таким образом, можно сделать вывод, что общее решение ЛОДУ n-го порядка с постоянными коэффициентами состоит из функций , количество которых (i) равно числу корней с кратностью , из функций , количество которых (j) равно числу корней с кратностью , из функций , количество которых (t) равно числу пар комплексных корней кратности  и из функций , количество которых (s) равно числу пар комплексных корней кратности .

Вопрос № 3. Линейные неоднородные ДУ, структура общего решения

Аналогично ЛОДУ линейные неоднородные дифференциальные уравнения ЛНДУ имеют структуру общего решения. Запишем ЛНДУ 2-го порядка в виде

                               (7)

или в кратком виде .

Теорема № 1 (о структуре общего решения ЛНДУ 2П).

Общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка имеет вид  , где  – общее решение, соответствующего линейного однородного ДУ ,  – частное решение исходного уравнения.

Доказательство.

Покажем, что  является решением (7). Для этого подставим его в (7). Получим . Сгруппируем данное уравнение по функциям . По условию первое слагаемое  как общее решение ЛОДУ, второе слагаемое  как частное решение ЛНДУ. Покажем, что это решение общее, то есть для любых начальных условий (НУ) при  и  существуют единственные коэффициенты  и , такие, что  – есть решение уравнения (7). Для этого подставим НУ в (7) и получим систему уравнений  относительно  и . Данная система из двух уравнений и двух неизвестных  и , следовательно она имеет единственное решение если определитель, составленный из коэффициентов при неизвестных, . Этот определитель есть Вронскиан двух функций  и , которые линейно независимы по условию. Тогда  и система имеет единственное решение  и . Вывод  есть общее решение ЛНДУ 2П.

4. ЛНДУ 2П с постоянными коэффициентами и специальной правой

В предыдущих вопросах были рассмотрены методы определения общего решения ЛОДУ 2П . Для нахождения общего решения линейного неоднородного ДУ 2-го порядка необходимо, согласно теоремы 1, определить его частное решение. Порядок его получения аналогичен порядку, приведенному в предыдущих вопросах. Ниже представим таблицу № 1, позволяющую определить  – частное решение ЛНДУ 2П в зависимости от вида правой части .

Таблица 2.

Правая часть уравнения	Возможные случаи	Вид частного решения
– многочлен степени n  – многочлен степени m	– не корни характеристического уравнения
	–корни характеристического уравнения	и  - многочлены с неопред. коэффициентами.
,  – многочлен степени n	– не корень характеристического уравнения
	– простой корень характеристического уравнения
	– корень характеристического уравнения r-кратности	– многочлен с неопределенными коэффициентами.
,  – многочлен степени n	0 – не корень характеристического уравнения
	0 – простой корень характеристического уравнения
	0 – корень характеристического уравнения r-кратности	– многочлен с неопределенными коэффициентами.
,  – многочлен степени n  – многочлен степени m	– не корни характеристического уравнения
	– корни характеристического уравнения	и  - многочлены с неопред. коэффициентами.

Замечание!!!

1. Если правая часть имеет только  или , частное решение содержит обе функции.

2. Неопределенными коэффициенты находят после подстановки частного решения в исходное ДУ.

ПРИМЕР № 1.

Найти общее решение ДУ . Найдем общее решение ЛОДУ . Характеристическое уравнение   имеет корень  кратности 2. Следовательно . Частное решение исходного уравнения находим из таблицы ,  и  не корни характеристического уравнения , поэтому частным решением будет многочлен первой степени , где A и B – неопределенные коэффициенты. Подставим это решение в исходное ДУ. Очевидно, , . Тогда  или . С учетом равенства соответствующих коэффициентов многочленов запишем систему , откуда , . Поэтому частное решение данного уравнения имеет вид , а общее решение имеет вид .

ПРИМЕР № 2.

Найти общее решение ДУ . Найдем общее решение ЛОДУ . Характеристическое уравнение   имеет комплексные корни , . Следовательно, согласно таблице 1 = .

Частное решение исходного уравнения находим из таблицы ,  и , причем  не корни характеристического уравнения, поэтому частным решением будет . Здесь  и ,  многочлены нулевой степени, а A и B – неопределенные коэффициенты. Подставим это решение в исходное ДУ. Очевидно, , . Тогда  или . С учетом равенства соответствующих коэффициентов многочленов запишем систему , откуда , . Поэтому частное решение данного уравнения имеет вид , а общее решение имеет вид .

Теорема № 2.

Частное решение ЛНДУ 2П вида  имеет вид , где  – частное решение ДУ ,  – частное решение ДУ .

Пример № 3.

Найти общее решение ЛНДУ  второго порядка. Общее решение имеет вид . Найдем общее решение ЛОДУ . Его характеристическое уравнение . Корень уравнения  имеет кратность 2, поэтому (таблица № 1) общее решение этого ЛОДУ будет .

Правая часть ЛНДУ можно представить в виде , где  и . Тогда частным решением ЛНДУ будет , где  – частное решение ЛНДУ . Согласно таблице № 2 с учетом того, что  – корень характеристического уравнения кратности 2, а  запишем . Подставим данное решение в ДУ и получим , сократив получим . Раскроим скобки и приведем подобные  или . Откуда , а . Аналогично необходимо найти частное решение ЛНДУ . Согласно таблице № 2 частное решение для ,  – не корень характеристического уравнения и , будет иметь вид . Тогда подстановка ,  дает . Решая , составим систему , откуда , Тогда общее решение ЛНДУ 2П будет .

Вопрос № 5. Метод вариации произвольных постоянных

В случае если ЛНДУ 2П имеет общий вид , то для его решения применяется метод вариации произвольных постоянных подобно ЛНДУ 1П (см. Л.52).

Заключение

В заключении отметим, что отсутствие в однородном ДУ правой части, обусловлено свойством однородности функции (см. Л. 51). Данная лекция была посвящена вопросам решения линейных однородных ДУ второго порядка, однако приведенные рассуждения можно обобщить на случай ДУ n-го порядка по аналогии с решением систем уравнений с n-уравнениями. Так общим решение ЛОДУ n-го порядка будет , где  – линейно независимые решения ДУ. В следующей лекции будут рассмотрены методы нахождения этих решений. Отметим наиболее важное:

- в силу линейного построения ДУ его общее решение так же является линейной комбинацией частных линейно независимых решений, то есть составляют фундаментальную систему;

- только неполные ДУ высших порядков допускают снижение порядка;

- при снижении порядка используют подстановку  или ;

- общее решение ЛОДУ 2П состоит из двух линейно независимых решений;

- в линейном однородном ДУ нет правой части .

Литература

24. Баврин И.И. Высшая математика. – М.: Просвещение, 2003. – 384 с.

25. Бугров Я.С., Никольский С.М. Дифференциальные уравнения. – Ростов-на-Дону: Феникс, 1997. – 512 с.

26. Демидович Б.П., Кудрявцев В.А.Краткий курс высшей математики. – М.: Астрель, 2001. - 656 с.

Лекция № 55

Линейные операторы

1. Операторы в . 

2. Дифференциальные и интегральные операторы                                          

3. Операторные уравнения

Цель занятия: Изучить понятие оператора, научиться применять линейные операторы в решении операторных уравнений.

Роль и место лекции

Теория операторного исчисления является необходимой составляющей в решении сложных задач математического моделирования, связанных с преобразованием пространств. Операторное преобразование позволяет облегчить восприятие сложных расчетов преобразования и упростить их анализ.

Вопрос № 1. Понятие оператора в пространстве

1.1. Понятие оператора

Пусть даны линейные векторные пространства  и  (см. лекцию № 5).

Определение № 1.

Оператором , действующим из пространства в  называется отображение вектора  в вектор , такой, что  есть результат воздействия оператора  на вектор .

Вектор  – образ вектора ,  – прообраз вектора . В частности  является оператором, действующим из одного множества в другое. Функционал так же является оператором или отображение любого линейного пространства в множество действительных чисел.

Совокупность всех элементов множества, для которых определен оператор, называется областью определения оператора.

Определение № 2

Линейным оператором называется оператор , если для всех  и  и любых  верны условия:

1.

2.

Следствие!!!

 и .

Т. е. линейную комбинацию векторов линейный оператор переводит в такую же линейную комбинацию их образов.

Если пространства совпадают ( ), то оператор  называют линейным преобразованием пространства.

ПРИМЕР № 1.

1. Единичный оператор . Оператор тождественного преобразования пространства.

2. Нулевой оператор ,  и .

3. Оператор подобия ,

1.2. Оператор в пространстве

Пусть задан базис пространства  

,                                                             (1)

т. е. для  справедливо разложение

,                                (2)

где  – координата вектора  в базисе (1). Пусть  – линейный оператор, тогда

                        (3)

откуда, согласно определению № 2, в силу линейности оператора получим

.                                 (4)

Для базиса (1) линейное преобразование  подставим в (4) и получим

+

…

 .               (5)

Сравнивая выражения (3) и (5) на основании единственности разложения вектора в данном базисе, заключаем

.

Выпишем матрицу коэффициентов системы линейных уравнений

                        (6)

Матрица (6) называется матрицей линейного оператора. Она однозначно определяется для оператора . Можно доказать, что любая квадратная матрица порядка n соответствует некоторому линейному оператору пространства .

Вывод!!!

Линейный оператор в  однозначно определяется матрицей порядка n, столбцы которой являются разложением вектора .

Вопрос № 2. Дифференциальные и интегральные операторы

2.1. Дифференциальный оператор

Рассмотрим  – пространство непрерывных на отрезке функций . Введем в этом пространстве оператор , такой что , т. е.  – дифференциальный оператор. Этот оператор является линейным. Известно, что , а это соответствует определению.

На  – множестве функций, имеющих непрерывную производную до n-го порядка включительно, вводят оператор

,

где  – множеству непрерывных функций.

2.2. Интегральный оператор

В  введем оператор следующим образом

,                 (7)

где  – фиксированная непрерывная функция, называемая ядром оператора. Такой оператор называется интегральным оператором. Если , то (7) называют косинус преобразованием, , то (7) называют синус преобразованием, если , то (7) называют Фурье преобразованием

Вопрос № 3. Операторные уравнения

Запишем . Пусть  известен, необходимо найти , тогда  можно рассматривать как операторное уравнение. Если существуют решения, то , где  – оператор обратный . В частном случае

, .                    (8)

Решение  уравнения (8) называется тривиальным. Наличие ненулевых решений зависит от .

Определение № 3.

Значения , для которых существуют нетривиальные решения операторного уравнения (8), называются собственными числами или собственными значениями оператора .

Определение № 4.

Ненулевые векторы , соответствующие собственным значениям, называются собственными векторами оператора .

 Теорема № 1.

Если  – собственный вектор оператора , соответствующий собственному числу , то любой коллинеарный ему вектор, так же собственный, соответствующий тому же .

Доказательство.

Пусть  – собственный вектор оператора , соответствующий собственному числу , следовательно . Очевидно  для любых . Подставим последнее в (8) и получим . Следовательно  – собственный вектор оператора , соответствующий .

Следствие!!!

Собственный вектор модно искать с точностью до числового множителя. Т. е. оператор задает направление.

Чаще за собственный вектор принимают нормированный вектор .

Определение № 5.

Совокупность всех собственных чисел оператора называется спектром оператора в .

Рассмотрим спектр  в . Для  операторное уравнение (8) можно записать в виде , где А – матрица линейного оператора (6), E – единичная матрица. Тогда , откуда получим выражение

,                                      (9)

соответствующее системе линейных уравнений

.                             (10)

Система линейных однородных уравнений совместна, т. к. , поэтому система может иметь единственное тривиальное решение если определитель матрицы коэффициентов  или иметь множество решений если . Т. е.

                                (11)

.             (12)

Правило нахождения спектра оператора  в пространстве .

1. Находим  согласно (12).

2. Для каждого  решаем уравнение (9) или систему (10) и находим соответствующие им собственные вектора. Т. е. находим решение операторного уравнения.

ПРИМЕР №2.

Пусть задан линейный оператор  с соответствующей ему матрицей . Найдем решение операторного уравнения (8). Согласно правилу

,

,

, ,

 – спектр оператора. Далее найдем собственные вектора . Для  имеем , откуда , следовательно , а  – любой. Пусть , тогда . Аналогично для  имеем , откуда . Пусть , тогда  и . Таким образом решением будет  и .

Заключение

Материал данной лекции будет необходим при изучении следующей лекции «Квадратичные формы». Важно понимание смысла оператора, действующего в пространстве как аппарата преобразующего это пространство. Важно различать смысл понятий оператора, функционала и функции.

Отметим наиболее важное:

- оператор преобразует пространство (существуют образы и прообразы).

- оператор может быть линейным.

- существует матрица линейного оператора.

- существуют интегральный и дифференциальный операторы.

- собственные числа оператора образуют его спектр.

- собственные вектора, соответствующие спектру оператора являются решением операторного уравнения.

- при нахождении собственных чисел линейного оператора в пространстве  необходимо решать системы линейных уравнений.

Литература

27. Ильин В.А., Позняк Э.Г. «Линейная алгебра». – М.: Физматлит, 2001. – 320 с.

28. Садовничий В. А. Теория операторов. – М. Дрофа, 2001. – 384 с.

29. Демидович Б.П., Кудрявцев В.А. Краткий курс высшей математики. – М.: Астрель, 2001. - 656 с.

Лекция № 56

Квадратичные формы

1. Самосопряженные операторы. 

2. Квадратичные формы                                                                                    

3. Приведение уравнения кривых второго порядка к каноническому виду

Цель занятия: Изучить понятие квадратичной формы, научиться приводить уравнения кривых второго порядка к каноническому виду. 

Роль и место лекции

Применение теории операторного исчисления позволяет исследовать уравнения второго порядка как результат преобразования пространства. Так в результате воздействия линейного оператора кривые второго порядка меняют направление основных асимптот, директрис и осей.

Вопрос № 1. Самосопряженные операторы

Пусть задано Евклидово пространство , т. е. n-мерное пространство в котором задано скалярное произведение (см. лекцию № 7).

Определение № 1.

Линейный оператор называется самосопряженным, если для любых  и  выполняется равенство

Теорема № 1.

Если  – самосопряженный оператор, действующий в ,то собственные векторы соответствующие различным собственным числам ортогональны.

Доказательство.

Пусть  – собственные числа оператора . Соответствующие собственные вектора обозначим  и . Тогда

,                             (1)

                    .                            (2)

Из определения № 1 следует, что . Подставим (1, 2) и получим , откуда . Дале , т. е. . Таким образом  или . Теорема доказана.

Вопрос № 2. Квадратичные формы

Определение № 2.

Квадратичной формой от «n» переменных называется однородный многочлен второй степени относительно этих переменных.

.

В частности от двух переменных

От трех переменных

Составим симметрическую матрицу из коэффициентов квадратичной формы. Коэффициенты при квадратах переменных запишем на главной диагонали, а остальные коэффициенты разделим на 2 и расположим симметрично относительно главной диагонали , , .

Определение № 3

Симметрическая матрица, составленная из коэффициентов квадратичной формы, называется матрицей этой формы. Так для

, .

В пространстве  самосопряженный оператор однозначно определяется матрицей квадратичной формы.

Определение №4

Главными направлениями квадратичной формы называются направления собственных векторов этой формы.

Теорема № 2.

Квадратичная форма в  может иметь либо два главных взаимноперпендикулярных направления, либо любые направления.

Доказательство.

Определим собственные числа матрицы квадратичной формы . Характеристическое уравнение , тогда

, ,

1. ,   и по теореме № 1 .

2. , . Но , , тогда .

Матрица квадратичной формы . Решение операторного уравнения  любой. Теорема доказана.

Определение № 5

Квадратичная форма, содержащая только квадраты переменных, называется канонической

Теорема № 3.

Если за базисные векторы принять собственные векторы (главные напрвлвения) матрицы квадратичной формы, то она принимает канонический вид.

Доказательство.

Дано . В  базисные вектора . Пусть  и  – собственные вектора ( ),тогда  – базис по условию, в котором вектор

                                 (3)

в новом базисе представим в виде

.      (4)

Сравнивая (3) и (4) получим систему преобразований

                                 (5)

Подставим (5) в квадратичную форму