Дифференциальные уравнения первого порядка

1. Задачи, приводящие к понятию дифференциального уравнения 

2. Основные понятия дифференциального уравнения

3. Дифференциальные уравнения первого порядка, задача Коши

4. Дифференциальные уравнения первого порядка с разделенными и разделяющимися переменными

5. Однородные дифференциальные уравнения первого порядка

Цель занятия: Изучить основные понятия дифференциальных уравнений, научиться классифицировать дифференциальные уравнения первого порядка и решать простейшие уравнения первого порядка.

Роль и место лекции

Этой лекцией начинается изучение нового раздела высшей математики «Дифференциальные уравнения». Из лекций, посвященных интегральному исчислению уже известно, что существуют задачи, при решении которых необходимо определять первообразные некоторых функций. При этом получают множество решений или множество первообразных. Другими словами получают общее решение. В некотором роде подобные задачи являются простейшим случаем решения дифференциальных уравнений. Если рассмотреть более сложные случаи, например, при наличии производных более высокого порядка, задание производной функции неявно, или сложное задание функции, а так же при необходимости отыскания частного или одного решения (первообразной) для определенных начальных условий, то мы определим задачи, которые решает раздел математики «Дифференциальные уравнения».

Понимание данной лекции особенно важно, так как в ней рассмотрены основные понятия дифференциальных уравнений, которые будут необходимы на протяжении изучения всех лекций темы «Дифференциальные уравнения»

Вопрос № 1. Задачи, приводящие к понятию дифференциального уравнения

1.1. Прикладная задача

Пусть некоторая популяция (сообщество особей одного вида) имеет в момент времени  биомассу . Предположим, что в каждый момент времени скорость увеличения биомассы пропорциональна уже имеющейся биомассе, т. е. , а возникающие явления самоотравления снижают биомассу пропорционально квадрату наличной биомассы, т. е. . Требуется определить количество биомассы в момент времени .

Если обозначить биомассу в момент времени t через , то можно записать дифференциальное уравнение  или . Проинтегрируем обе части , где С – произвольная постоянная, тогда , , . Поскольку , то , откуда . Подстановка в полученное выражение даст . График этой функции представлен на рисунке. Его анализ показывает, что популяция стабилизируется, причем при  популяция до стабилизации растет, а при  вымирает.

1.2. Геометрическая задача

Составить уравнение линии, проходящей, через точку , у которой тангенс касательной для любого  определяется согласно выражению . По условию  – дифференциальное уравнение. Последнее запишем как  или . Тогда  откуда уравнение кривой . По условию точка , поэтому , откуда . Тогда искомое уравнение .

Вопрос № 2. Основные понятия дифференциального уравнения

Определение № 1.

Дифференциальным уравнением называется уравнение, содержащее независимую переменную, функцию этой переменной ее производную или дифференциалы

 или . (1)

Определение № 2 .

 Порядком дифференциального уравнения называется порядок наивысшей производной, входящей в это уравнение.

В задаче № 1 приведено дифференциальное уравнение первого порядка, а выражение (1) дифференциальное уравнение n-го порядка.

Определение № 3.

Степенью дифференциального уравнения называется степень наивысшей производной, входящей в это уравнение.

ПРИМЕР № 1.

 – уравнение третьего порядка и третьей степени.

Определение № 4.

Решением дифференциального уравнения называется функция, которая вместе со своими производными обращает дифференциальное уравнение в тождественное равенство.

Определение № 5.

Общим решением дифференциального уравнения называется решение, содержащее произвольные постоянные. Обозначается  или в явном виде , где  – произвольные постоянные, число которых соответствует порядку уравнения.

Определение № 6.

Частным решением дифференциального уравнения, называется решение, полученное из общего при конкретных значениях произвольных постоянных. Они находятся из начальных условий при , , ,…, .

Некоторые дифференциальные уравнения имеют так же особое решение.

Определение № 7.

Особым решением называется такое, которое нельзя получить из общего ни при каких значениях произвольных постоянных. Геометрический смысл – огибающая семейства интегральных кривых (рис. 1).

Замечание!!!

Обыкновенные дифференциальные уравнения – есть уравнения относительно функции одной переменой. Дифференциальные уравнения многих переменных есть уравнение в частных производных.

Вопрос № 3. Дифференциальные уравнения первого порядка, задача Коши

3.1. Определение ДУ первого порядка

Определение № 8.

Дифференциальным уравнением 1 – го порядка называется уравнение, содержащее независимую переменную, функцию этой переменной и ее производную или дифференциал первого порядка.

Обозначается как   (2) или в явном виде   (3). Если правую часть выражение (3) можно представить в виде отношения многочленов , то выражение (3) можно представить в виде 

.                           (4)

Определение № 9.

Общим решением дифференциального уравнения 1 – го порядка называется решение, содержащее одну произвольную постоянную  или . Геометрический смысл – семейство интегральных кривых на плоскости (рис. 2).

Определение № 10.

Частным решением дифференциального уравнения 1 – го порядка называется решение, полученное из общего при конкретном значении произвольной постоянной.

Правило № 1.

Частное решение находят из общего решения с помощью начальных условий при , . Для этого в общее решение подставляют начальные условия и определяют значение произвольной постоянной С. Полученное значение C подставляют в общее решение и получают частное решение.

Замечание!!!

Геометрически частное решение – одна из интегральных кривых, проходящая через заданную точку .

3.2. Геометрический смысл ДУ первого порядка

Запишем дифференциальное уравнение (ДУ) первого порядка в форме (3) . Пусть функция  определена в области . Возьмем некоторую точку . Подставим в (3) и получим  угла наклона касательной к интегральной кривой в этой точке. Аналогично для всех точек . Следовательно, уравнение (3) задает направление в каждой точке области D (рис. 3).

Определение № 11.

Множество точек с определенными направлениями, соответствующих (3), называется полем направлений дифференциального уравнения. Прямая, соединяющая все точки с одинаковым направлением называется изоклиной (рис. 4).

ПРИМЕР № 2.

Для уравнения  изоклиной будут окружности.

3.3. Задача Коши

Определение № 12.

Задача, состоящая в нахождении частных решений дифференциального уравнения первого порядка , удовлетворяющего начальным условиям , , называется задачей Коши.

Теорема № 1 (существования и единственности решения задачи Коши).

Если в уравнении  правая часть  непрерывна в области D, содержащей точку , и его частная производная  ограничена в этой области, то существует единственная функция  – решение ДУ, удовлетворяющая начальным условиям .

Вопрос № 4. Дифференциальные уравнения первого порядка с разделенными и разделяющимися переменными

Если в выражении (4) функция P зависит только от x, а функция Q только от y, то дифференциальное уравнение будет уравнением с разделенными переменными  или . Следовательно, функции отличаются только на произвольную постоянную. Проинтегрируем обе части равенства , тогда общим решением дифференциального уравнения с разделенными переменными будет

   .                            (5)

Правило № 2.

Чтобы найти общее решение ДУ с разделенными переменными надо его почленно проинтегрировать, а в правую часть поставить произвольную C.

Если в уравнении (4) функции  и можно разложить на множители, каждый из которых зависит только от одной переменной, то это уравнение называется ДУ с разделяющимися переменными.

 Пусть , а . Тогда выражение (4) примет вид . Разделим обе части на  и  и получим  уравнение с разделенными переменными. Решением такого уравнения будет согласно (5) .

ПРИМЕР № 3.

Решить дифференциальное уравнение .

. Ответ .

Вопрос № 5. Однородные дифференциальные уравнения первого порядка

Определение № 14.

Функция  называется однородной k-го измерения если она удовлетворяет условию .

ПРИМЕР № 4.

Функция  однородная, так как выполняется условие  – однородное уравнение второго измерения. В свою очередь функция  неоднородная.

Определение № 15.

ДУ 1-го порядка  называется однородным, если функции P и Q однородны одного и того же измерения.

 Преобразуем уравнение (4) к виду (3). Получим . Таким образом, функция  должна быть 0-го измерения.

Определение № 16.

ДУ 1-го порядка  называется однородным, если правая часть однородная функция нулевого измерения .

Для решения однородного дифференциального уравнения (ОДУ) преобразуем правую часть  и подставим . Тогда .

Вывод!!!

В однородном уравнении  правая часть приводится к функции . Следовательно, получим уравнение вида

 .                               (6)

Это уравнение с помощью подстановки  приводится к уравнению с разделяющимися переменными. Покажем это. Найдем . Подставим в (6) . Разделим переменные U и x, т. е. уравнение  приведем к виду . Откуда получим общее решение  или . С учетом  получим окончательное решение ОДУ  .

Правило № 3.

Чтобы найти общее решение однородного дифференциального уравнения первого порядка надо

1. С помощью подстановки  привести это уравнение к уравнению с разделяющимися переменными.

2. Разделить переменные и проинтегрировать уравнение. В полученных интеграл вместо  подставить .

ПРИМЕР № 5.

Дано  – однородное ДУ 1-го порядка. Применим подстановку . Получим . Откуда  или . Проинтегрируем . Тогда , откуда . Тогда решение .

Заключение

Поскольку в данной лекции были даны основные определения, то данный материал будет необходим практически при изучении всех последующих лекций, посвященных данной теме. При изучении данной лекции необходимо было обратить особое внимание на определения № 2, 3. 15, позволяющие классифицировать дифференциальные уравнения. Наиболее трудным для понимания вопросом является определения однородности уравнения. Поэтому рекомендуется еще раз разобрать приведенный пример № 4.

Как было показано в первом вопросе, задачи, приводящие к необходимости решения дифференциальных уравнений, встречаются практически в любой прикладной области. В биологии, физики, социологии, экономики и др. областях, где возникает необходимость решения уравнений, в которые ходят функции некоторых процессов, скорости их роста, ускорения и так далее. Так же отметим:

- в обыкновенные ДУ входят переменная, функция и производные;

- в ДУ в частных производных входят частные производные;

- порядок ДУ соответствует порядку наивысшей производной уравнения;

- степень ДУ соответствует степени наивысшей производной уравнения;

- в общем решении ДУ содержатся произвольные постоянные, число которых соответствует порядку ДУ;

- частное решение находится из общего при конкретном значении постоянных;

- задача Коши – нахождение частного решения ДУ 1-го порядка при начальных условиях;

- ДУ с разделяющимися переменными решаются методом почленного интегрирования;

- в однородном ДУ для правой части справедливо .   

Литература

15. Баврин И.И. Высшая математика. – М.: Просвещение, 2003. – 384 с.

16. Бугров Я.С., Никольский С.М. Дифференциальные уравнения. – Ростов-на-Дону: Феникс, 1997. – 512 с.

17. Демидович Б.П., Кудрявцев В.А.Краткий курс высшей математики. – М.: Астрель, 2001. - 656 с.

Лекция № 52