Линейные дифференциальные уравнения первого порядка

1. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. 

2. Уравнение Бернулли

3. Уравнение в полных дифференциалах

4. Уравнения Лагранжа и Клеро, не разрешенные относительно производных

Цель занятия: Изучить понятие линейного дифференциального уравнения и рассмотреть возможные их типы. Научиться классифицировать и решать дифференциальные уравнения первого порядка.

Роль и место лекции

Предыдущая лекция была посвящена основным терминам и понятиям дифференциальных уравнений. Для успешного решения дифференциальных уравнений особенно важно точно классифицировать его тип, поскольку это обуславливает выбираемый в этом случае метод решения. Ранее были рассмотрены достаточно простые однородные дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися и разделенными переменными. Однако, как будет показано в этой лекции, дифференциальные уравнения могут быть и более сложного вида.

Обращаем внимание на то, что не существует общего метода или способа решения дифференциальных уравнений, как их нет и при вычислении интегралов. То есть особую значимость играет правильность применения одного из методов, применимого для данного вида дифференциального уравнения.

Материал данной лекции необходим при изучении линейных дифференциальных уравнений высших порядков.

Вопрос № 1. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка

1.1. Формы линейного ДУ 1-го порядка

Определение № 1.

Дифференциальное уравнение первого порядка, линейное относительно искомой функции и ее производной, называется линейным. Т. е. ДУ вида

 ,                          (1)

где  и  – непрерывные функции. Возможны частные случаи.

1. Если , то выражение (1) сводится к дифференциальному уравнению с разделяющимися переменными .

2. Если , то выражение (1) сводится линейному дифференциальному уравнению без правой части  или линейно однородному дифференциальному уравнению (ЛОДУ). В этом случае можно разделить переменные , откуда . Проинтегрируем обе части  решение

.                                                (2)

3. Общий случай если  и  используют один из двух методов.

1.2. Метод подстановки Бернули

В данном методе используется подстановка вида

,                                              (3)

 где  и  – функции дифференцируемые по переменной x. Из выражения (3) следует . Последнее подставим в (1) и получим , откуда

.                                  (4). 

В равенстве (3) одну из функций выбирают произвольно, так чтобы . Найти такую функцию просто, поскольку последнее является линейным ДУ без правой части (см п. 2.). Поэтому решение для  будет иметь вид (2), а именно  (5). Подставим (5) в (4) и получим уравнение  или , которое является ДУ 1-го порядка с разделяющимися переменными. Его решение следующее

 (7). Тогда подстановка (7) и (5) в (3) даст общее решение ДУ (1) 

 .                               (8)

1.3. Метод вариации произвольно постоянной

Уже отмечалось, что линейно однородное уравнение (без правой части) или ЛОДУ  имеет общее решение вида (2) . Заменим произвольную постоянную C некоторой функцией , т. е. предположим, что значение константы стало зависеть от текущей переменной. Тогда запишем  (9). Чтобы (9) было решением ЛНДУ (1) необходимо, чтобы она удовлетворяла ему. Найдем  , подставим последнее в (1) и получим  или  – это уравнение с разделяющимися переменными. Решая его, получим  или , откуда найдем . Последнее подставим в выражение (9) и получим общее решение линейного ДУ 1-го порядка в виде

 .               (10)

ПРИМЕР № 1.

Найти общее решение линейного ДУ . Запишем его в форме (1) , откуда , а . Воспользуемся выражением (8) и запишем общее решение  или , тогда , откуда .

Вопрос № 2. Уравнение Бернулли

Определение № 2.

Уравнением Бернулли называется дифференциальное уравнение первого порядка вида

,                              (11)

где   .

Данные уравнения можно привести к линейному виду, используя подстановку . Однако на практике зачастую уравнения Бернулли не приводят к линейному виду а используют подстановку Бернулли.

ПРИМЕР № 2.

Найти частное решение ДУ  для . Применим подстановку , тогда  или . Определим функцию V, такую что . Данное уравнение с разделяющимися переменными. Разделим переменные . Интегрируя обе части равенства получим , откуда . Подставим последнее в исходное уравнение , откуда . Разделим переменные  и проинтегрируем  или . С учетом подстановки получим . Подставим начальные условия и определим свободную переменную , откуда . Тогда частное решение . 

Вопрос № 3. Уравнение в полных дифференциалах

3.1. Условие уравнения в полных дифференциалах и его общее решение

Определение № 3.

Дифференциальное уравнение 1-го порядка вида  называется уравнением в полных дифференциалах (УПД).

Обратите внимание, что левая часть имеет вид полного дифференциала. Поэтому если левая часть есть полный дифференциал некоторой функции, т. е. , то , что соответствует  (12). Тогда по определению полного дифференциала  или , . Определим вторые смешанные частные производные , . По определению смешанные производные равны, следовательно левые части этих равенств равны, поэтому  (13).

Вывод!!!

ДУ 1-го порядка называется дифференциальным уравнение в полных дифференциалах, если выполняется (13).

Вместо одной произвольной постоянной используем начальную точку интегрирования, т. е. выберем пределы интегрирования, текущие ,  и начальные . Представим эти точки графически (рис. 1). Интегрирование полного дифференциала  произведем по траектории ABC,   . Очевидно , а . Тогда    откуда согласно (12) получим общее решение ДУ в ПД

 .              (14)

ПРИМЕР № 3.

Найти общее решение ДУ . Пусть , а . Видно, что  и , следовательно, это уравнение в полных дифференциалах. Возьмем начальную точку , тогда согласно (14) общее решение будет иметь вид , или .

3.2. Интегрирующий множитель 

Если условие (13) не выполняется, то это не уравнение в полных дифференциалах. Однако это уравнение иногда можно привести к уравнению в полных дифференциалах умножением его на некоторую функцию , называемую интегрирующим множителем. Чтобы ее найти необходимо, чтобы уравнение  было уравнением в полных дифференциалах, то есть для него выполнялось условие (13) . Выполнив дифференцирование  и приведя подобные слагаемые, получим . Для нахождения  необходимо проинтегрировать полученное ДУ в частных производных. Решение зачастую громоздкое. Однако, если допустить, что функция t зависит только от x или y, то решение упрощается. Пусть, например, . Тогда последнее уравнение примет вид  или , откуда . Аналогично получим для . При этом подынтегральные выражения должны зависеть только от x или y соответственно.

ПРИМЕР № 4.

Решить уравнение . Здесь  и . Т. е. (13) не выполняется. Однако  зависит только от x. Следовательно, интегрирующий множитель . Умножая исходное уравнение на этот множитель, получим  уравнение в полных дифференциалах. Решая его согласно (14) получим .

Вопрос № 4. Уравнения Лагранжа и Клеро, не разрешенные относительно производных

4.1. Уравнение Лагранжа

Определение № 4.

Уравнением Лагранжа называется уравнение, не разрешенное относительно производной, вида

 ,                   (15)

где  и  известные функции от

Для его решения используют вспомогательный параметр . Тогда уравнение (15) примет вид . Дифференцируя его по x, получим , то есть  (16) или  или  (см. (1)). Данное уравнение есть линейное ДУ относительно неизвестной функции . Решая это уравнение согласно (8) или (10) получим некоторое решение в виде . Исключая параметр p, получим общий интеграл уравнения (15) в виде некоторой функции

Замечание!!!

При преобразованиях производилось деление на , поэтому было потеряно решение, для которого , то есть для некоторого значения . Очевидно из (16) это значение есть корень уравнения , поэтому решение   есть особое решение.

4.2. Уравнение Клеро

Определение № 5.

Уравнение Клеро как частный случай уравнения Лагранжа называется уравнение, не разрешенное относительно производной, вида

 ,                        (17)

Для его решения используют так же вспомогательный параметр . Тогда уравнение (17) примет вид . Дифференцируя его по x, получим , то есть . Если , то . Поэтому общее решение уравнения (17) имеет вид (18). Однако так же может выполняться и . Получаем частное решение в параметрической форме  (19) – это особое решение уравнения Клеро.

ПРИМЕР № 5.

Решить уравнение Клеро . Общее решение будет иметь вид (18) . Особое решение получаем согласно (19) , откуда следует .

Заключение

В заключении отметим, что важно различать линейные уравнения. Так например уравнения Лагранжа и Клеро не линейные. Однако в основе их решений лежит решение линейных дифференциальных уравнений. Отметим так же появление особых решений в нелинейных дифференциальных уравнениях, которые не могут быть получены из общего решения. Очевидно, что в особых решениях отсутствует произвольная постоянная.

Данная лекция была посвящена вопросам непосредственного решения конкретных типов ДУ, которые могут возникать при решении прикладных задач. Приведенные методы необходимо знать, так как они будут использованы при изучении следующих лекций.

Отметим наиболее важное:

- в ЛДУ 1-го порядка линейная зависимость относительно искомой функции и ее производной;

- линейно однородное ДУ не содержит правой части;

- ЛДУ решаются с помощью подстановки Бернулли  или вариации произвольной постоянной ;

- в уравнении Бернулли присутствует искомая функция в степени m, решается это уравнение либо приведением его к линейному виду подстановкой , либо указанными выше методами;

- в уравнении в полных дифференциалах разделены  и  и нет правой части, так же должно выполнятся условие (13); 

- уравнения Лагранжа и Клеро решаются с помощью подстановки .

Литература

18. Баврин И.И. Высшая математика. – М.: Просвещение, 2003. – 384 с.

19. Бугров Я.С., Никольский С.М. Дифференциальные уравнения. – Ростов-на-Дону: Феникс, 1997. – 512 с.

20. Демидович Б.П., Кудрявцев В.А.Краткий курс высшей математики. – М.: Астрель, 2001. - 656 с.

Лекция № 53