Разложение функции в степенные ряды

Лекция № 44

Числовые ряды

1. Понятия числового ряда

2. Ряд геометрической прогрессии

3. Необходимый признак сходимости числового ряда

4. Остаток ряда и его свойства

5. Свойства сходящихся рядов

Цель занятия: Изучить понятие числового ряда. Научиться классифицировать числовой ряд по необходимому признаку.

Роль и место лекции

В повседневной жизни нам практически постоянно приходится сталкиваться с понятием «ряд», начиная от абстрактных понятий как «ряд неудач» и кончая бытовыми примерами, например эквалайзер вашего магнитофона. Даже привычные вещи непосредственно связаны с понятием рядов. Например, прирост населения страны, рост популяции животных, индекс деловой активности и др. есть числовые или функциональные последовательности, т. е. ряды. Одни ряды конечные, другие бесконечные. Простой белый свет есть бесконечная сумма квантов с различной длиной волны, т. е. сумма цветов радуги дает белый свет, и т.д.

Вам уже знакомо понятие числовой последовательности как функции натурального аргумента из теории пределов по второму замечательному пределу. Это пример как бесконечная сумма чисел имеет предел равный экспоненте. Для лучшего изучения данной темы необходимо повторить раздел «Теория пределов».

Данной лекцией начинается тема «Ряды». Ее задача дать основные понятия, необходимые для дальнейшего изучения данной темы, а так же обобщить известные ранее, но разрозненные понятия.  

Вопрос № 1. Понятия числового ряда

Напомним, что числовая последовательность – это функция натурального аргумента. Отображение  на . Обозначается  или .

Определение № 1.

Аналитическое выражение вида

                        (1)

называется числовым рядом, где  – члены числового ряда, если “n” не фиксирована, то  – общий член ряда.

ПРИМЕР № 1.

1.  – натуральный ряд.

2.  – ряд геометрической прогрессии .

3.  – гармонический ряд.

Определение № 2.

Сумма “n” первых членов числового ряда называется n-ой частной (частичной) суммой ряда .

Вывод!!!

Запишем частные суммы , ,  и т. д. Тогда согласно определению № 1 следует, что любому числовому ряду соответствует еще одна последовательность числовых сумм . 

Определение № 3.

Конечный предел последовательности частных сумм числового ряда называется суммой этого ряда. Если этот конечный предел существует, то ряд называется сходящимся, а если не существует или равен бесконечности, то ряд называется расходящимся

 .

ПРИМЕР № 2.

Сходится ли ряд . Частная сумма . Разложим на простейшие  , тогда частная сумма . Найдем предел . Следовательно ряд сходящийся и сумма ряда .

Вопрос № 2. Ряд геометрической прогрессии

Рассмотрим наиболее часто встречающийся ряд вида

 ,       (2)

ряд геометрической прогрессии. Для  частная сумма . Для различных значений параметра q возможны следующие варианты.

1. , тогда  и ряд сходится и .

2. , тогда  и ряд расходится.

3. , тогда  и  – ряд расходится.

4. , тогда  Следовательно предел  не существует ( ) и ряд расходится. Таким образом

 ,              (3)

Вопрос № 3. Необходимый признак сходимости                             числового ряда

Теорема № 1 (необходимый признак сходимости).

Если ряд сходится, то общий член ряда стремиться к нулю при .

Доказательство.

Составим частные суммы ряда  и . Найдем  и предел (по определению 2)= .

Замечание!!!

Обратное утверждение не верно. Т. е. если  не следует, что и весь ряд сходится. Например, гармонический ряд  расходится, а .

Следствие!!!

Если , то числовой ряд расходится.

ПРИМЕ № 3.

Для  запишем . Следовательно, ряд расходится.

Вопрос № 4. Остаток ряда и его свойства

Запишем числовой ряд в виде

. (4)

Определение № 4.

Бесконечный ряд, полученный отбрасыванием  первых членов, называется остатком числового ряда. Если этот ряд сходится, то его сумму обозначают, как , где  показывает, отбрасыванием сколки членов ряда получен остаток.

Теорема № 2.

Если данный ряд сходится, то и его остаток также сходится.

Составим суммы  и . Очевидно, что  –  частная сумма ряда. По условию ряд сходится, поэтому  и . Найдем  – остаток ряда так же сходится.

Теорема № 3.

Если остаток числового ряда сходится, то и его числовой ряд также сходится.

Доказательство.

Составим суммы  и . Очевидно, что  –  частная сумма ряда. Запишем . Найдем . По условию остаток сходится . Из теоремы 2 . Тогда  – число, следовательно, ряд так же сходится.

Следствие!!!

Если ряд сходится, то .

Важно!!!

Смысл теорем 2 и 3 состоит в том, что отбрасывание или приписывание конечного числа членов ряда не влияет на его сходимость.

Вопрос № 5. Свойства сходящихся рядов

Свойство № 1.

Если все члены числового ряда  умножить на одно и тоже число , то вновь полученный ряд  будет сходиться или расходится вместе с исходным рядом, причем его сумма будет равны .

Доказательство.

Обозначим частную сумму исходного ряда  и вновь полученного . Перейдем к пределу. Если , то . Очевидно, что если  и , то  и новый ряд сходится или расходится вместе с исходным.

Свойство № 2.

Сходящиеся ряды можно почленно складывать, при этом сумма нового ряда равна сумме сумм первых рядов

, , .

Важно!!!

На все сходящиеся ряды можно перенести свойства конечных сумм.

Заключение

В заключении отметим, что понимание теории рядов особенно необходимо при решении многих прикладных задач, отмеченных вначале. Знание данного материала крайне необходимо для дальнейшего изучения темы «Ряды». 

 Отметим наиболее важное:

- ряды бывают конечные и бесконечные;

- если сумма ряда бесконечна, то он расходится;

- сумма ряда определяется пределом частной суммы;

- если ряд сходится, то общий член ряда стремится к нулю при ;

- даже если общий член ряда стремится к нулю, сам ряд может расходиться;

- остаток ряда получается отбрасыванием первых членов ряда;       

- ряд сходится или расходится вместе со своим остатком;

- на расходящиеся ряды нельзя перенести свойства конечных сумм.

Литература

1. Баврин И.И. Высшая математика. – М.: Просвещение, 2003. – 384 с.

2. Воробьев Н.Н. Теория рядов. – М: Наука, 1996.– 408 с. -

Лекция № 45

Знакоположительные ряды

1. Ряды с положительными членами

2. Признак сравнения как признак сходимости ряда

3. Признаки Даламбера и Коши

4. Интегральный признак сходимости

Цель занятия: Научиться применять признаки сравнения, Даламбера, Коши и интегральный для определения сходимости знакоположительного ряда.

Роль и место лекции

На предыдущей лекции было изучено понятие ряда, рассмотрены числовые ряды общего вида. Как было показано определение их сходимости достаточно трудоемкая задача. Однако если ограничиться случаем знакоположительного ряда, то можно получить дополнительные, более простые аналитические выражения, позволяющие определить сходимость числового ряда.

Для лучшего понимания данной лекции, рекомендуется повторить материал по теме «Пределы» и «Определенные интегралы». Данная лекция будет необходима при изучении лекции «Функциональные ряды» и «Ряды Фурье».  

Вопрос № 1. Ряды с положительными членами

Определение № 1.

Числовой ряд, все члены которого неотрицательны, называется рядом с положительными знаками или знакоположительным рядом.

                  (1)

знакополижительный ряд если для любых  справедливо .

Следствие!!!

Ряд  для знакоположительного ряда возрастает.

Теорема № 1.

Для того чтобы знакоположительный ряд сходился необходимо и достаточно чтобы ряд частных сумм  был ограничен сверху.

Доказательство (необходимость).

Дан сходящийся ряд (1). Требуется доказать, что  ограничен. По условию существует предел . Поскольку ряд знакоположителный, то  возрастает. Следовательно,  для любых  и ограничена сверху.

Доказательство (достаточность).

Дано  – органична сверху. Требуется доказать, что (1) сходится. По условию ряд  ограничен и возрастает, следовательно, по признаку Вейерштрасса существует предел  и (1) сходится.

Замечание!!!

Если ряд расходится, то . 

Вопрос № 2. Признак сравнения как признак сходимости ряда

Теорема № 2.

Если для знакоположительных рядов  и  начиная с некоторого номера выполняется соотношение , то из сходимости второго ряда следует сходимости первого и из расходимости первого ряда следует расходимость второго ряда.

Доказательство.

Так как отбрасывание конечного числа членов ряда не влияет на его сходимость, то предположим, что, начиная с , выполняется неравенство . Тогда для частичных сумм рядов  и  следует неравенство . Пусть  сходится, тогда  – ограничена сверху. Но тогда в силу  последовательность  так же ограничена сверху и следовательно сходится. Тогда ряд  так же сходится.

Пусть ряд  расходится, следовательно  и из  следует, что  и ряд  также расходится.

ПРИМЕР № 1.

Исследовать сходимость ряда . Для этого сравним его с геометрическим рядом при , т. е. с рядом . Начиная с , выполняется неравенство . Тогда в силу сходимости геометрического ряда и теоремы 2 следует, что заданный ряд сходится.

Теорема № 3.

Если для знакоположительных рядов  и  начиная с некоторого номера, выполняется соотношение , и , то оба ряда сходятся или расходятся одновременно.

Т. е. если  и второй ряд сходится, то и первый ряд сходится, а если  и второй ряд расходится, то и первый ряд расходится.

ПРИМЕР № 2.

Исследовать сходимость ряда . Сравним данный ряд с гармоническим рядом. . Тогда в силу того, что второй (гармонический) ряд расходится и теоремы 3 первый ряд так же расходится.

Замечание!!!

Обратите внимание на схожесть с методом сравнения бесконечно малых величин.

Вопрос № 3. Признаки Даламбера и Коши

Теорема № 4 (признак Даламбера).

Если для знакоположительного ряда (1) существует предел  и

1. , то ряд (1) сходится.

2. , то ряд (1) расходится.

3. , то сомнительный случай.

Доказательство.

По определению предела последовательности следует, что  выполняется неравенство  или

.                                                       (2)

Пусть . Выберем . Обозначим . Тогда, начиная с некоторого значения , из правой части (2) справедливо  или . Умножая обе части на  запишем

.                            (3)

Правая часть выражения (3) есть члены сходящегося ряда геометрической прогрессии  при . По правилу сравнения ряд (1) сходится.

 Пусть . Выберем . Тогда из левой части (2) справедливо  или . Следовательно,  и ряд расходится.

ПРИМЕР № 3.

Исследовать сходимость ряда . Запишем , . Признак . Ряд сходится.

Теорема № 5 (признак Коши).

Если для знакоположительного ряда (1) существует предел  и

1. , то ряд (1) сходится.

2. , то ряд (1) расходится.

3. , то сомнительный случай.

Вопрос № 4. Интегральный признак сходимости

Дан ряд (1). Пусть функция  определена на , причем , ,  … , .

Теорема № 6.

Если функция  для всех  непрерывная, неотрицательная и убывающая, то ряд  сходится или расходится вместе с несобственным интегралом

ПРИМЕР № 4.

. Признак , ряд расходится

Определение № 2.

Обобщенным гармоническим рядом называется ряд вида , где .

Исследуем сходимость обобщенного гармонического ряда.

1.  – гармонический ряд расходится .

2.  – интегральный признак  и ряд расходится.

3.  – интегральный признак  – конечное число и ряд сходится. Итак

   .                 (4)

4.1. Правило исследования числового ряда

1. Выяснить знаком ли ряд.

2. Проверить необходимый признак сходимости .

3. Проверить признаки сравнения, Даламбера, Коши или интегральный признак.

Заключение

Отметим наиболее важное:

-  для знакоположительного ряда возрастает;

- если ряд расходится, то ;

- признак Даламбера сравнивает последующие члены ряда;

- признак Коши исследует корень n-й степени общего члена ряда;

- интегральный признак применим, если общий член ряда задан функционально;

- признак сравнения основан на сравнении рядов с известными свойствами;

- гармонический ряд есть частный случай обобщенного гармонического ряда.

Литература

3. Баврин И.И. Высшая математика. – М.: Просвещение, 2003. – 384 с.

4. Воробьев Н.Н. Теория рядов. – М: Наука, 1996.– 408 с. -

Лекция № 46

Знакопеременные ряды

1. Абсолютно сходящиеся ряды

2. Признаки Даламбера, Коши и сравнения

3. Знакочередующиеся ряды

4. Свойства абсолютно сходящихся рядов

Цель занятия: Научиться определять сходимости знакопеременного ряда.

Роль и место лекции

Данная лекция является продолжением предыдущей. Очевидно, что ряд может состоять из членов, меняющих свой знак. В этом случае рад может сходится несмотря на то, что тот же ряд, составленный из абсолютных величин, может расходится. Данным вопросам и посвящена эта лекция.

 Если в предыдущей лекции были рассмотрены только знакоположительные ряды, были получены признаки их сходимости, то на данной лекции будет рассмотрен общий случай знакопеременных рядов, а так же признаки их сходимости.  

Вопрос № 1. Абсолютно сходящиеся ряды

Определение № 1.

Числовой ряд, среди членов которого бесконечное множество положительных и бесконечное число отрицательных членов, называется знакопеременным рядом или рядом с произвольным членом.

ПРИМЕР № 1.

Теорема № 1 (достаточный признак сходимости знакопеременного ряда).

Если ряд, составленный из абсолютных величин членов знакопеременного ряда, сходится, то данный ряд так же сходится.

Если

сходится, то                                (1)

 так же сходится.                       (2) 

Доказательство.

Обозначим n-ю частную сумму ряда  как . Так как ряд (2) сходится, то существует предел . Обозначим n-ю частную сумму ряда  как

.                                         (3)

 Обозначим сумму всех положительных членов правой части равенства (3) как , а сумму абсолютных величин отрицательных членов через . Очевидно

.                                            (4)

 Поскольку  и , то существует предел  и предел . Перейдем в (4) к пределу , а следовательно (1) сходится.

Замечание!!!

Теорема выражает достаточное, но не необходимое условие сходимости, то есть существуют сходящиеся знакопеременные ряды, для которых абсолютный ряд из расходится.

Определение № 2.

Знакопеременный ряд называется абсолютно или безусловно сходящимся если сходится ряд, составленный из абсолютных величин его членов.

ПРИМЕР № 2.

Ряд  из примера № 1 сходится. Составим ряд из его абсолютных членов . По признаку Даламбера  этот ряд сходится, следовательно, исходный ряд сходится абсолютно.

Определение № 3.

Знакопеременный ряд называется относительно или условно сходящимся, если сам ряд сходится, а ряд, составленный из абсолютных величин его членов, расходится.

Абсолютная сходимость обеспечивается быстрым стремлением к нулю, а условная сходимость обеспечивается интерференцией положительных и отрицательных членов.

ПРИМЕР № 3.

Ряд  сходится, так как ряд  сходится (см. л. 45) и  (признак сравнения). Однако ряд, составленный из абсолютных величин , есть гармонический ряд, и он расходится. Поэтому исходный ряд условно сходящийся.

Вопрос № 2. Признаки Даламбера, Коши и сравнения

Теорема № 2 (признак Даламбера).

Если для знакопеременного ряда существует предел  и

1. , то ряд абсолютно сходится.

2. , то ряд абсолютно расходится.

3. , то сомнительный случай.

Теорема № 3 (признак Коши).

Если для знакопеременного ряда существует предел  и   1. , то ряд (1) сходится.

2. , то ряд (1) расходится.

3. , то сомнительный случай.

Теорема № 4.

Если для знакопеременного ряда  найдется знакоположительный ряд , и, начиная с некоторого номера n, выполняется соотношение , то ряд  сходится абсолютно

Вопрос № 3. Знакочередующиеся ряды

Определение № 4.

Числовой ряд, в котором за положительным членом следует отрицательный и за отрицательным членом следует положительный член, называется знакочередующимся рядом.

.               (5)

Теорема № 5 (Лейбница, признак сходимости знакочередующегося ряда).

Если члены знакочередующегося ряда не возрастают по абсолютной величине и общий член ряда стремиться к нулю при , то ряд сходится, его сумма положительна и не превосходит первого члена.

Доказательство.

Дан ряд  (6) ,  (7),  (8). Требуется доказать, что ряд (6) сходится, его сумма . Составим четную частную сумму . По условию (7) , следовательно,  возрастает при . Представим частную сумму как . Следовательно , возрастающая, положительная и ограниченная. Тогда существует предел . Теперь возьмем нечетную частную сумму  и перейдем к пределу  по условию (8).

ПРИМЕР № 4.

Ряд  сходится так как  и .

Замечание!!!

Теорема Лейбница используется для оценки погрешности. Известно, что , где  знакопеременный, сходящийся ряд. Тогда по теореме Лейбница  (9). Следовательно за сумму ряда приближенно можно взять n первых членов и погрешность не будет превышать .

ПРИМЕР № 5.

Найти сумму  с точностью . Выполняются условия теоремы Лейбница ,  и ряд сходится. Тогда . Поскольку , то .

Вопрос № 4. Свойства абсолютно сходящихся рядов

Замечание!!!

Все абсолютно сходящиеся ряды обладают свойствами конечных сумм.

Свойство № 1.

Если все члены абсолютно сходящегося ряда  умножить на одно и тоже число , то вновь полученный ряд  будет абсолютно сходящимся, причем его сумма будет равны .

Свойство № 2.

Абсолютно сходящиеся ряды можно почленно складывать, при этом сумма нового ряда равна сумме сумм первых рядов

, , .

Свойство № 3.

В абсолютно сходящихся рядах можно переставлять члены

, .

Свойство № 4.

В абсолютно сходящихся рядах можно группировать члены

.

Теорема № 6 (Римана).

В условно сходящемся ряде можно так переставить члены, что сумма ряда изменится или ряд станет расходящимся.

ПРИМЕР № 6.

Дан  условно сходящийся ряд. Сумма ,  или . Сложим с начальной суммой . При перестановке членов сумма изменилась.

Заключение

Отметим наиболее важное:

- если ряд, составленный из абсолютных величин членов знакопеременного ряда, сходится, то данный ряд так же сходится;

- если расходится ряд из абсолютных членов, то ряд условно сходящийся;

- признак Даламбера и Коши отличается наличием знака модуля;

- теорема Лейбница позволяет определить сходимость знакочередующегося ряда;

- все абсолютно сходящиеся ряды обладают свойствами конечных сумм;

- в условно сходящемся ряде переставлять члены нельзя.

Литература

5. Баврин И.И. Высшая математика. – М.: Просвещение, 2003. – 384 с.

6. Воробьев Н.Н. Теория рядов. – М: Наука, 1996.– 408 с. -

Лекция № 47

Функциональные ряды

1. Понятие функционального ряда

2. Равномерная сходимость функционального ряда 

3. Свойства равномерно сходящихся функциональных рядов

4. Степенные ряды, теорема Абеля

Цель занятия: Изучить понятие функционального ряда. Научится классифицировать функциональные ряды. Исследовать степенной ряд.

Роль и место лекции

В предыдущих лекциях были рассмотрены числовые ряды как функция натурального аргумента. Вы знаете, что функция может быть сложной. То есть члены числового ряда в свою очередь могут быть функциями, причем общего вида. Тогда получим не числовой, а функциональный ряд, суммой которого будет не число, а некоторая другая функция. Подобные ряды наиболее часто встречаются в окружающем нас мире. Так музыка есть сумма отдельных звуков, описываемых некоторыми функциями. Очевидно, что функциональные ряды могут быть так же бесконечны. Есть даже отдельный раздел математики «Гармонический анализ», занимающийся исследованием разложений функций. Этим вопросам будут посвящены следующие несколько лекций. На данной лекции будут рассмотрены основные понятия и теоремы, необходимые для дальнейшего изучения теории рядов. 

Вопрос № 1. Понятие функционального ряда

Определение № 1.

Бесконечный ряд, членами которой являются функции вещественной или комплексной переменной, определенные в некоторой области D называется функциональным рядом.

 .           (1)

ПРИМЕР № 1.

Функциональный ряд  определен на . Подставив любое значение  в ряд, получим числовой ряд , который может сходится или нет.

Определение № 2.

Точка, в которой функциональный ряд превращается в сходящийся числовой ряд, называется точкой сходимости функционального ряда.

Определение № 3.

Совокупность всех точек сходимости функционального ряда называется областью сходимости функционального ряда, и обозначается  если  ряд сходится,  если не для всех  ряд сходится и  если  ряд расходится.

Рассмотрим ряд степенных функций или геометрической прогрессии с

 .               (2)

Если , ряд сходится (см. л. 44). Область сходимости . В этом случае сумма ряда  на интервале . Тогда если , то ряд

 .          (3)

сходится на интервале  и .

Вывод!!!

Сумма функционального ряда  есть функция того же аргумента, что и члены ряда. В области сходимости  и , . За ошибку вычислений принимают .

Вопрос № 2. Равномерная сходимость функционального ряда

Область сходимости функционального ряда  обозначим , то если для любых  ряд  есть сходящийся числовой ряд. Т. е. существует предел  (или ). По определению предел последовательности означает, что  существует натуральное число  такое, что для любых  выполняется неравенство . Аналогично другая точка  где ряд сходится. Т. е. существует предел  (или ). По определению предел последовательности означает, что  существует натуральное число  такое, что для любых  выполняется неравенство .

Определение № 4.

Функциональный ряд называется равномерно сходящимся в области , если для любых  существует натуральное число , не зависящее от , такое, что для любых  выполняется неравенство . Обозначается

Теорема № 1 (Вейерштрасса, достаточный признак равномерной сходимости).

Если для функционального ряда  существует сходящийся знакоположительный числовой ряд  (4) такой, что  (5) для любых  и для любых , то функциональный ряд сходится абсолютно и равномерно в области .

Доказательство.

Абсолютная сходимость следует из условия (5) и признака сравнения. Ряд (5) сходится по условию, следовательно  или , для любых  существует . Из (5) следует, что , откуда по определению 4 ряд сходится равномерно.

Важно!!!

Существуют функциональные ряды, для которых не выполняется условие (5), однако они равномерно сходятся.

Определение № 5.

Функциональный ряд , для которого можно подобрать сходящийся знакоположительный ряд  такой, что условие  выполняется, называется правильно сходящимся или мажорируемы, а ряд  называется мажорантой ряда.

Вывод!!!

Из признака Вейерштрасса следует, что любой мажорируемый ряд сходится равномерно, но не для всякого равномерно сходящегося ряда можно найти мажоранту.

ПРИМЕР № 2.

Дан ряд . Область сходимости . По признаку Вейерштрасса возьмем знакоположительный ряд  . Данный ряд сходится (см. л. 45 ), причем . Поэтому данный ряд правильно и равномерно сходится.

Вопрос № 3. Свойства равномерно сходящихся функциональных рядов

Равномерно сходящиеся функциональные ряды обладают всеми свойствами конечных сумм функций. Напомним эти свойства.

1. Сумма конечного числа непрерывных функций есть функция непрерывная.

2. . 3. .   

4. .

Тогда свойства равномерно сходящихся рядов будут следующие.

Свойство № 1.

Если функциональный ряд  (1) равномерно сходится в области  и члены ряда непрерывные функции, то и сумма ряда непрерывна на .

Свойство № 2.

Если функциональный ряд (1) равномерно сходится в области  и существуют пределы , то .

Свойство № 3.

Если функциональный ряд (1) равномерно сходится в области  и члены ряда непрерывно дифференцируемы, а ряд из производных равномерно сходится в , то ряд (1) можно почленно дифференцировать .

Свойство № 4.

Если функциональный ряд (1) равномерно сходится на  и члены ряда интегрируемы на , то ряд (1) можно почленно интегрировать .

Вопрос № 4. Степенные ряды, теорема Абеля

 Определение № 6.

Функциональный ряд

 (6)

называется степенным рядом или рядом по степеням двучлена , где  – числа, коэффициенты ряда.

Если параметр , то получим ряд

             (7)

по степеням переменной . Если заменить , то можно перейти от (6) к (7). В точке  ряд  сходится.

Теорема № 2 (Абеля).

Для всякого степенного ряда  существует неотрицательное число R такое, что для любых  ряд абсолютно сходится, а для любых  ряд расходится.

Доказательство.

Для любых  ряд перейдет в числовой ряд. Определим признак Даламбера . Обозначим , . Тогда . Ряд сходится если , тогда  или при  –ряд (7) абсолютно сходится и при  ряд (7) расходится.

Число                                          (8)

называется радиусом сходимости степенного ряда (7). В точках  ряд (7) может сходиться или расходится. В этих точках необходимо исследовать ряд.

Замечание!!!

Если , то , а если , то . Выражением (8) можно использовать, если не пропущены степени в (7). Во всех случаях используется признак Даламбера и Коши.

ПРИМЕР № 3.

 – с пропусками. Тогда , откуда  и интервал сходимости .

Заключение

Отметим наиболее важное:

- числовой ряд – это частный случай функционального ряда;

- в области сходимости функционального ряда значение его суммы ;

- равномерно сходящийся ряд имеет остаток, уменьшающийся за счет уменьшения членов ряда, а не их интерференции;

- признак Вейерштрасса - достаточный признак сходимости функционального ряда;

- радиус сходимости степенного ряда определяется теоремой Абеля.

Литература

7. Баврин И.И. Высшая математика. – М.: Просвещение, 2003. – 384 с.

8. Воробьев Н.Н. Теория рядов. – М: Наука, 1996.– 408 с. -

Лекция № 48

Разложение функции в степенные ряды

1. Свойства степенных рядов

2. Ряды Тейлора и Маклорена 

3. Теоремы о разложимости функции в степенной ряд

4. Разложение элементарных функций в степенные ряды

5. Степенные ряды в комплексной области

Цель занятия: Изучить ряды Тейлора и Маклорена. Научиться раскладывать в эти ряд