Дифференциальные уравнения высших порядков

1. Зада Коши для ДУ высших порядков

2. ДУ высших порядков, допускающие понижение порядка

3. Линейные ДУ высших порядков

4. Линейные однородные ДУ второго порядка

Цель занятия: Изучить понятие дифференциального уравнения высших порядков. Научиться классифицировать линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка и решать их.

Роль и место лекции

Для изучения данной лекции рекомендуется повторить материал предыдущих лекций, посвященный линейным ДУ и линейным однородным ДУ. Особую важность при изучении данной лекции, как и всей темы «Дифференциальные уравнения» играют знания методов интегрирования, таблицы производных и первообразных. Рекомендуется повторить вопрос однородности уравнения.

Материал данной лекции необходим при решении прикладных задач, связанных с решением уравнений, в которые входят вторые производные, характеризующие скорость изменения скорости некоторого процесса.

Вопрос № 1. Зада Коши для ДУ высших порядков

Дифференциальные уравнения n-го порядка записываются в виде                                       (1)

или

                                 (2).

Задача отыскания частного решения ДУ (2), удовлетворяющего начальным условиям , , ,…, , называется задачей Коши ля ДУ n-го порядка.

Теорема № 1 (существования и единственности решения задачи Коши).

Если в уравнении  правая часть  непрерывна в области D, содержащей точку , а окрестности этой точки ограничена ее частная производная 1-го порядка по переменным , то существует единственное решение ДУ, удовлетворяющая начальным условиям , , ,…, .

Вопрос № 2. ДУ высших порядков, допускающие понижение порядка

2.1. ДУ вида

ДУ вида  (3) называется неполным уравнением, не содержащим искомую функцию и промежуточных производных. Очевидно, его общее решение находится путем n-кратного интегрирования. То есть , откуда  . Аналогично  и т. д. Таким образом общее решение будет иметь вид

. (4)

ПРИМЕР № 1.

,                               ,

,

2.2. ДУ вида

ДУ вида

                                  (5)

называется неполным уравнением, не содержащим искомую функцию в явном виде. Решают такие уравнения с помощью подстановки , где p – функция от x. Поскольку , то такая подстановка приведет (5) к ДУ 1-го порядка относительно p, т. е. . Решая его, найдем эту функцию в некотором виде . Тогда с учетом подстановки  – ДУ 1-го порядка относительно y с разделяющимися переменными, откуда общее решение (5) будет иметь вид

                              (6).

2.3. ДУ вида

ДУ вида  (7) называется неполным уравнением, не содержащим свободную переменную в явном виде. Решают такие уравнения с помощью подстановки . Поскольку , то такая подстановка приведет (7) к ДУ 1-го порядка относительно p, т. е. . Решая его, найдем функцию p в некотором виде . Тогда с учетом подстановки  – ДУ 1-го порядка с разделяющимися переменными  или , откуда общее решение (7) будет иметь вид  .

ПРИМЕР № 2.

Решить . Пусть , тогда . Подставка дает . Разделим переменные , . Тогда , , откуда  или . С учетом подстановки . Это ДУ 1-го порядка с разделяющимися переменными. Разделив переменные, получим , проинтегрируем , , откуда .

Вопрос № 3. Линейные ДУ высших порядков

Определение № 1.

Дифференциальное уравнение высшего порядка, линейное относительно искомой функции и ее производных, называется линейным. Т. е. ДУ вида

 ,    (8)

где  и  – заданные функции, y – искомая функция.

Если , то выражение (8) сводится (см. Л. 52) линейному дифференциальному уравнению без правой части или линейно однородному дифференциальному уравнению (ЛОДУ).

Частным случаем выражения (8) является ЛДУ 2-го порядка

 .                  (9)

Теорема № 2 (существования и единственности решения ЛНДУ 2П).

Если функции ,  и  непрерывны на отрезке, содержащем точку , то существует единственное решение (9), удовлетворяющее начальным условиям , .

Вопрос № 4. Линейные однородные ДУ второго порядка

Как указывалось ранее, линейным однородным ДУ называется уравнение без правой части. Поэтому ЛОДУ 2П называется уравнение вида

 .                     (9)

Для удобства вводят оператор . Поэтому выражение (9) может быть записано кратко .

4.1. Свойства ЛОДУ 2П.

Свойство № 1.

Если функции  и  любые решения линейного однородного ДУ 2-го порядка, то  тоже решение этого уравнения.

Доказательство.

По условию  и . Докажем, что . С учетом (9) 

 =  

Свойство № 2.

Если функции  – решение линейного однородного ДУ 2-го порядка, а C – константа, то  тоже решение этого уравнения.

Свойство № 3.

Если функции  и  любые решения линейного однородного ДУ 2-го порядка, а  и  константы, то  тоже решение этого уравнения.

Вывод!!!

Все решения ЛОДУ 2П образуют линейное пространство.

4.2. Определитель Вронского

Определение № 2.

Функции  и  называются линейно независимыми на отрезке, если  верно только при всех  если это равенство выполняется хотя бы при одном , то эти функции называются линейно зависимыми.

Замечание!!!

Очевидно, что функции линейно зависимы тогда и только тогда, когда они пропорциональны, т. е. для всех  выполняется (см. линейную независимость векторов, часть 1).

Определение № 3.

Определителем Вронского или Вронскианом двух функций называется определитель, составленный из функций и их первых производных

Теорема № 3.

Для того чтобы две функции были линейно независимы на отрезке, необходимо и достаточно, чтобы  в любой точке этого отрезка.

Теорема № 4 (о структуре общего решения ЛОДУ 2П).

Если  и  – линейно независимые решения ЛОДУ 2-го порядка, а  и  – произвольные константы, то  общее решение этого уравнения

Доказательство.

Вследствие свойств функция  есть решение ЛОДУ 2П. Поэтому необходимо показать, что это решение общее, т. е. для любых начальных условий (НУ) ,  существуют единственные значения  и . Подставим НУ в общее решение и получим систему  относительно  и . Данная система из двух уравнений и двух неизвестных  и , следовательно она имеет единственное решение если определитель, составленный из коэффициентов при неизвестных, . Этот определитель есть Вронскиан двух функций  и , которые линейно независимы по условию. Тогда согласно теореме 3 этот определитель , а система имеет единственное решение. Вывод  есть общее решение ЛОДУ 2П.

Определение № 4.

Система двух линейно независимых решений ЛОДУ 2П называется фундаментальной системой, то есть остальные решения могут быть получены из их линейной комбинации.

Заключение

В заключении отметим, что отсутствие в однородном ДУ правой части, обусловлено свойством однородности функции (см. Л. 51). Данная лекция была посвящена вопросам решения линейных однородных ДУ второго порядка, однако приведенные рассуждения можно обобщить на случай ДУ n-го порядка по аналогии с решением систем уравнений с n-уравнениями. Так общим решение ЛОДУ n-го порядка будет , где  – линейно независимые решения ДУ. В следующей лекции будут рассмотрены методы нахождения этих решений. Отметим наиболее важное:

- задача Коши справедлива для любого порядка ДУ;

- только неполные ДУ высших порядков допускают снижение порядка;

- при снижении порядка используют подстановку  или ;

- общее решение ЛОДУ 2П состоит из двух линейно независимых решений;

- в линейном однородном ДУ нет правой части .

Литература

21. Баврин И.И. Высшая математика. – М.: Просвещение, 2003. – 384 с.

22. Бугров Я.С., Никольский С.М. Дифференциальные уравнения. – Ростов-на-Дону: Феникс, 1997. – 512 с.

23. Демидович Б.П., Кудрявцев В.А.Краткий курс высшей математики. – М.: Астрель, 2001. - 656 с.

Лекция № 54