Линейные разностные уравнения с постоянным коэффициентом.

Ких и Бих системы.

Аналоговые системы во временной области описываются системой дифференциальных уравнений. Для цифровых систем аналогами дифференциальных уравнений являются разностные уравнения, те есть дискретные системы описываются разными уравнениями.При последовательности x(n) и начальных условиях разностные уравнения однозначно определяют y(n).

Пример:

Особую роль играет класс ЛДС, для которых вход и выход удовлетворяет линейное разностное уравнение «n» порядка.

а_kи b_j – постоянные коэффициенты.

Выразим выход системы:

 (2)

Согласно этому уравнению выходные значения определяются через n значений выхода и m значений входа.

ЛДС может иметь импульсную характеристику h(n) как конечной, так и бесконечной длины. Соответственно ЛДС называют системой с конечной импульсной характеристикой и бесконечной импульсной характеристикой . Ких система может быть описана частным видом (2) при n=0. В этом случае значение выход полностью определяет M+1 значений входа и уравнение (2) превращается в уравнение (1).

В отличии от Ких систем, у Бих система n>0.

Описание ЛДС и дискретных сигналов в частотных системах.

Z-преобразования.

Передаточная функция и частотная характеристика.

Для решения дифференциальных уравнений, описывающих аналоговые системы, используют преобразования Лапласа. В результате получается алгебраическое уравнение. Наиболее подходящим методом решения уравнений является z-преобразования, то есть дискретный аналог преобразований Лапласа.

x(z) x(n) определяется следующим образом:

(3)

Где z- комплексная переменная, x(z)- комплексная функция.

x(z) определена для тех значений zи z^-1, для которых (4) сходится.

По условиям сходимости x(z)определена для тех значений z с радиусом r в z-плоскости, для которых:

Пример:

, следовательно ряд сходится.

На рисунке показана область определения.

Свойства z-преобразований.

· Свойство однозначности.

Каждой x(z) соответствует одно x(n):

, тогда, когда

· Линейность.

z- преобразования-это линейный оператор.

· Свойство сдвига

, то

z^k

· Свойство свертки

Y(z)=x₁(z)x₂(z).

Передаточная функция ЛДС.

Применяя свойство к (2) к обеим частям:

H(z)- передаточная функция системы, отношение z-преобразований выхода к z- преобразований входа. Она полностью описывает ЛДС частотной области.

Частотная характеристика.

Другой важной характеристикой ЛДС является частотная характеристика системы.

Частотная характеристика- Фурье изображение или преобразование Фурье импульсной характеристики h(n).

- частотная характеристика.

Комплексная функция  можно представить в виде:

Где  это АЧХ, а вторая часть- ФЧХ.

Свойства частотной характеристики:

1. Частотная характеристика и ее составляющие- непрерывные функции частоты .

2. АЧХ и ФХЧ- периодические функции, с периодом равным .

3. Модуль АЧХ- четная функция, а модуль ФЧХ- нечетная функция.

Понятие ЧХ применимо как для ЛДС так и к самим сигналам на входе и выходе системы.