Вычисление эмпирических характеристик распределения.

Практически при многократных измерениях полученные результаты х1,х2,…,хn группируют по классам (интервалам), определяя частоту n1,n2,…,nk появления этих результатов в соответствующем классе и вычисляя эмпирические (приближенные) значения вероятностей – частости:

                                                                                (20)

где j=1,2,…,k  и

                                                                             (21)

Применение систем классов необходимо при обработке больших рядов распределения случайной величины. Для определения шага интервала используют формулу Г. Стерджесса:

                                                    (22)

где xmax , xmin  - соответственно максимальное и минимальное значения случайной величины;

n – число наблюдени.

Вычисляют накопленные частоты согласно

           Nj=n1+n2+…+nj.                                   (23)

Затем определяют накопленную частость или эмпирическую функцию распределения Fn(x)

                                 Fn(x)=                                        (24)

                                                                     Рис. 3

Для решения поставленной задачи необходимо подвергнуть данный ряд распределения статистическому анализу. При этом определяют эмпирические числовые характеристики распределения: математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение, асимметрию и эксцесс. В дальнейшем проводится оценка точности параметров распределения. Для выявления случайного характера распределения значений горизонтального угла проверяется гипотеза близости данного ряда нормальному закону распределения.

 Для проведения группирования сначала нужно установить шаг интервала:

 м

Установим шаг и границы интервалов, вычисляем частоты, частоты и величину накопленной частости. Результаты вычислений представлены в табл.1.

Таблица 1

165             1.000

По результатам табл.1. построим графики: полигон, гистограмму и график накопленной частости или функции эмпирического распределения.(рис.4,рис.5,рис.6)

Рис 4. Полигон частот

Рис 5.  Гистограмма частот

Рис 6. График накопленной частости

При большом объеме выборки для определения эмпирических параметров распределения предварительно вычислим относительные начальные моменты. Вычисление относительных начальных моментов выполнено в табл.2.

Таблица 2

Номер интервала	Середина интервала xi	Относительная середина интервала yi	Частота Ni	niyi	niyi	niyi	niyi
1	2	3	4	5	6	7	8
1	21.3900	-4	1	-4	16	64	256
2	21.4100	-3	1	-3	9	-27	81
3	21.4300	-2	3	-6	12	-24	48
4	21.4500	0	61	0	0	0	0
5	21.4700	0	91	0	0	0	0
6	21.4900	2	7	14	28	56	112
7	21.5100	2	0	0	0	0	0
8	21.5300	2	0	0	0	0	0
9	21.5500	4	1	4	16	64	256
Суммы			165	5	81	133	753
Относительные начальные моменты				0.03	0.49	0.81	4.56

Вычислим вероятнейшее значение угла:

Xср1=Δx*ν1+c=0.02*0.03+21.460=21.4606 м

0.0004*(0.49-0.009)=0.00019 м

Проведем группирование на интервале от 21.4500 до 21.4720. Для этого установим шаг интервала:

м

Установим шаг и границы интервалов, вычисляем частоты, частоты и величину накопленной частости. Результаты вычислений представлены в табл.3.

 Таблица 3

123     1.000

По результатам табл.3. построим графики: полигон, гистограмму и график накопленной частости или функции эмпирического распределения.(рис.7,рис.8,рис.9)

Рис 7. Полигон частот

Рис 8. Гистограмма частот

Рис 9. График накопленной частости

При большом объеме выборки для определения эмпирических параметров распределения предварительно вычислим относительные начальные моменты. Вычисление относительных начальных моментов выполнено в табл.4.

Таблица 4

Номер интервала	Середина интервала xi	Относительная середина интервала yi	Частота Ni	niyi	niyi	niyi	niyi
1	2	3	4	5	6	7	8
1	21.4510	-6	1	-6	36	-216	1296
2	21.4530	-4	13	-52	208	-832	3328
3	21.4550	-3	4	-12	36	-108	324
4	21.4570	-2	19	-38	76	-152	304
5	21.4590	-1	7	-7	7	-7	7
6	21.4610	0	11	0	0	0	0
7	21.4630	1	26	26	26	26	26
8	21.4650	2	17	34	68	136	272
9	21.4670	3	15	45	135	405	1215
10	21.4690	4	7	28	112	448	1792
11	21.4710	5	3	15	75	375	1875
Суммы			123	33	779	75	10439
Относительные начальные моменты				0.27	6.33	0.61	84.87

Вычислим вероятнейшее значение угла:

 Xср2=Δx*ν1+c=0.0020*0.27+21.4600=21.4635 м

Для вычисления эмпирических значений дисперсий, асимметрии и эксцесса воспользуемся центральными моментами, которые находятся через начальные по формулам:

0.0004*(6.33-0.0729)=0.000025 м

0,000008*(0.619-3*6.33*0.27+2*0,019683)=-0,000000036 м

0,00000016*(84.87+4*0.61*0.27+6*6.33*0.27-

-3*0,00531441)=0.0000000014 м

Имеем: 0,000025 м

Откуда среднее квадратическое отклонение составит:

 м

Произведем интервальную оценку математического ожидания MX=a. Учитывая большой объем выборки, можно принять  Параметр t по функции Ф(t)=0.94 согласно таблице равен 1,88. Тогда доверительный интервал определиться как:

21.4635-1.88 < a < 21.4635+1.88

21.4635-0.0008476 < a < 21.4635+0.008476

21.4626 < a < 21.4643

Для интервальной оценки дисперсии воспользуемся зависимостью:

Т.к. число степеней свободы больше 30, то соответствующее значение определяется из выражения:

В нашем случае значение получится равным:

=93,9609 м,

а величина  соответственно:

=152,5735 м

Затем определяем доверительный интервал для дисперсии:

0.000020 <  < 0.000033

Соответственно для стандарта или среднего квадратического отклонения интервал составит:

0.0045 < < 0.0057

В дальнейшем необходимо проверить гипотезы о параметрах распределения. В этом случае произвольно берутся эмпирические значения параметров распределения: среднее арифметическое и эмпирическая дисперсия Xср2=21,4635 и =0,000025. Проверить нулевую гипотезу о равенстве центров распределения.

При большом объеме выборки можно считать, что . Разность средних значений составит . Ее сравнивают с величиной , где параметр t находится из приложения, а  вычисляется по формуле:

м

Параметр t при доверительной вероятности P=0.94 равен 1,88. Тогда величина =1,88*0,0012=0,0022, следовательно, не выполняется условие > =0.0022 и нулевая гипотеза отвергается.

Выдвигается гипотеза о равенстве дисперсий . Используем значение F-распределения согласно формуле:

F= =7.60 м

Полученное значение F сравниваем с табличным, взятым по степеням свободы к =122 и к =164 при доверительной вероятности P=0.94 и уровню значимости q=0.06 (Fq=1.54).

F=7.60 > Fq=1.54