Задачи и методы кинематического анализа механизмов. Масштабные коэффициенты

Кинематический анализ механизма состо­ит в определении движения его звеньев по заданному движению на­чальных звеньев. При этом считается известной кинематическая схема механизма, т.е. его структурная схема с указанием разме­ров звеньев, необходимых для кинематического анализа.

Основные задачи кинематического анализа.

1. Определение положений звеньев и траекторий отдельных точек звеньев.

2.Определение линейных скоростей и ускорений точек, угло­вых скоростей и ускорений звеньев.

3. Определение передаточных отношений между звеньями.

Эти задачи могут решаться графическими, аналитическими и экспериментальными методами.

Масштабные коэффициенты

Масштабным коэффициентом называется отношение численного значения физической величины к длине отрез­ка в мм, изображающего эту величину.

Например, если длина звена равна  = 0,05 м, а отрезок, изображающий это звено, равен AB= 50 мм, то масштабный коэффи­циент длин  = 0,05/50 = 0,001 м/мм, что соответствует чер­тежному масштабу 1:1; если же,
АВ = 25 мм, то  = 0,05/25 = 0,002 м/мм (1 : 2).

Масштабный коэффициент скоростей . Если скорость некоторой точки А равна  10 м/с, а отрезок, изображающий , равен pa=50 мм, то =10/50 = 0,2 . Масштабный коэффициент ускорений .

Построение положений рычажных механизмов методом засечек

Кинематический анализ механизмов выполняется в порядке присоединения структурных групп.

Построение положений плоских механизмов второго класса обычно выполняется методом засечек. В качестве примера рассмот­рим кривошипно-ползунный механизм (рис.14.1).

Вначале находим крайние положения механизма (0 и 3), в которых кривошип 1 и шатун 2 располагаются на одной прямой. Для этого из центра 0 делаем засечки радиусами АВ + ОА и АB - ОА на линии движения ползуна 3. Далее делим окружность, описываемую точкой А, на равные части (например, на шесть) и отмечаем после­довательные положения точки А – 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, а затем ме­тодом засечек на линии движения ползуна получаем последователь­ные положения точки В – 0, 1, 2, 3 (движение справа налево) 4,5, 6 (движение слева направо). S – ход ползуна. В результате получаем последовательные положения всех звеньев механизма.

Траектория некоторой точки К шатуна получается, если все последовательные положения точки соединить плавной кривой.

Определение скоростей и ускорений рычажных механизмов методом планов

Пример. Кривошипно-ползунный механизм (рис. 14.2).

Дано:  = 60 рад/с или  = 50 об/мин,  = 100 мм,  = 300 мм,  =5 рад/с².

Формула строения:  механизм второго класса.

Построение плана скоростей. Скорость точки А начального звена равна

где –частота вращения кривошипа 1 в об/мин.

в сторону . Выбираем масштабный коэффициент скорос­тей  и определяем отрезок  мм, изображающий . Точка Р – полюс плана скоростей.

Рассматриваем структурную группу (2, 3). Для определения скорости точки B составляем векторное уравнение согласно теореме о плоскопараллельном движении:

                                                      (14.1)

где – скорость точки В во вращательном движении звена 2 относительно точки А, ,

Уравнение (14.1) решаем графически. Для этого из полюса Р откладываем отрезок pa в направлении вектора , из точки a проводим прямую в направлении вектора , т.е. , затем из полюса Р проводим прямую в направлении суммарного вектора , т.е.  Пересечение указанных направлений дает точку  в. В результате находим

Для определения направления угловой скорости  шатуна 2 переносим вектор относительной скорости  ( отрезок )в точку В и наблюдаем, в какую сторону он поворачивает звено 2 относительно точки А.

Скорость точки K шатуна находим на основании векторных уравнений

 и

где  и  –относительные скорости, причем , .В результате получим

Отметим основные свойства планов скоростей.

1.  Векторы абсолютных скоростей начинаются в полюсе плана.

2. Векторы относительных скоростей соединяют концы векто­ров абсолютных скоростей, причем вектор на плане направлен к той точке, которая стоит первой в индексе, например,  – от а к в.

3. Теорема подобия. Отрезки относительных скоростей точек, принадлежащих одному звену, образуют фигуру, подобную соответст­вующей фигуре звена и сходственно с нею расположенную. Сходст­венное расположение означает, что направления обхода одноименных контуров совпадают (например, а-в-ки А-В-К – по часо­вой стрелке). В рассмотренном примере ~ .

Построение плана ускорений. Ускорение точки А начального звена

где  –нормальное ускорение;

 – касательное (тангенциальное) ускорение.

причем вектор  направлен вдоль ОА от А к 0, a  в сторону .

Выбираем масштабный коэффициент ускорений , и определяем отрезок  мм, изображающий , и отре­зок  мм, изображающий . Точка  – полюс плана ускорений. Откладываем отрезки  и  в соответствии с их направлениями. Тогда

Рассматриваем структурную группу (2, 3). Для определения ускорения точки В составляем векторное уравнение согласно тео­реме о плоскопараллельном движении:

                                                (14.2)

где  –нормальная и касательная составляющие ускорения  точки В во вращательном движении звена 2 относительно точки А, причем вектор  направлен вдоль АВ от В к А, а . Нормальная составляющая находится также по величине

Отрезок, изображающий  равен

Уравнение (14.2) решаем графически. Для этого из точки a откладываем отрезок  в направлении вектора  из точки  проводим прямую в направлении вектора , а из полюса  про­водим прямую в направлении суммарного вектора , т.е. . Пересечение указанных направлений дает точку в. В результате находим

Для определения направления углового ускорения  шатуна 2 переносим вектор касательного ускорения  (отрезок ) точку В и наблюдаем, в какую сторону он поворачивает звено 2 относительно точки А.

Ускорение точки K находим на основании теоремы подобия, которая справедлива и для плана ускорений. Для этого методом засечек строим , подобный  и сходственно с ним распо­ложенный. Стороны  и  находим из пропорций

откуда

В результате получим

.

Основные свойства планов ускорений такие же, как и планов скоростей.