Студопедия

КАТЕГОРИИ:

АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

Моменты инерции некоторых тел правильной геометрической формы

⇐ ПредыдущаяСтр 5 из 18Следующая ⇒
Тело Ось, относительно которой определяется момент инерции Формула момента инерции

Однородный тонкий стержень массой т и длиной l

 Проходит через центр тяжести стержня перпендикулярно стержню
Проходит через конец стержня перпендикулярно стержню  
Тонкое кольцо, обруч, труба радиусом R и массой т, маховик радиусом R и массой т,распределённой по ободу Проходит через центр перпендикулярно плоскости основания
Круглый однородный диск (цилиндр) радиусом R и массой т Проходит через центр диска перпендикулярно плоскости основания
Толстостенная трубка, круглый однородный полый диск (цилиндр) массой т с внутренним радиусом R1 и внешним радиусом R2 Проходит через центр диска перпендикулярно плоскости основания
Однородный шар массой т и радиусом R Проходит через центр шара

 

· Теорема Штейнера: момент инерции тела относительно произвольной оси равен:

,

где  – момент инерции этого тела относительно оси, проходящей через центр масс тела параллельно заданной оси;  – расстояние между осями; m – масса тела (рис. 1.15).

· Момент импульса вращающегося тела относительно оси:

,

где  – момент инерции тела,  – его угловая скорость.

· Закон сохранения момента импульса. Если суммарный момент внешних сил, действующих на систему, равен нулю, то полный момент импульса системы сохраняется:

Если , то ,

или ,

где Li – момент импульса i-го тела, входящего в состав системы, N – число тел в системе. Для двух взаимодействующих тел замкнутой системы:

где , ,  и  – моменты инерции и угловые скорости тел до взаимодействия: , ,  и  – те же величины после взаимодействия.

· Закон сохранения момента импульса для одного тела, момент инерции которого меняется:

,

где  и  – начальный и конечный моменты инерции;  и  – начальная и конечная угловые скорости тела.

· Основное уравнение динамики вращательного движения твердого тела относительно неподвижной оси (второй закон Ньютона для вращательного движения): угловое ускорение  тела прямо пропорционально суммарному моменту  внешних сил и обратно пропорционально моменту инерции  тела:

.

· Второй закон Ньютона для вращательного движения в импульсной форме (закон изменения момента импульса тела): изменение момента импульса тела  равно импульсу  суммарного момента  внешних сил:

, или .

Если момент сил, действующих на тело, постоянен, то

, или ,

где  (или ) – промежуток времени, в течение которого действовал момент сил ;  – момент инерции тела,  – его угловая скорость.

· Работа момента силы  при вращательном движении:

,        .

Если момент сил постоянен ( ), то работа равна

.

Здесь   (или ) – угол поворота.

· Мгновенная мощность, развиваемая при вращении тела:

.

· Кинетическая энергия вращающегося тела:

.

· Кинетическая энергия тела, катящегося по плоскости без скольжения:

,

где  – кинетическая энергия поступательного движения тела;  – скорость центра масс тела;  – кинетическая энергия вращательного движения тела вокруг оси, проходящей через центр масс.

Механические колебания

· Кинематическое уравнение гармонических колебаний

,

Здесь х –смещение колеблющейся точки из положения равновесия;

t – время;

А –амплитуда колебаний;

ω – круговая (циклическая) частота колебаний;

 – начальная фаза колебаний;

 – фаза колебаний в момент t.

· Круговая (циклическая) частота колебаний:

,  или   ,

где  и Т – частота (линейная частота) и период колебаний соответственно.

· Скорость точки, совершающей гармонические колебания:

.

· Ускорение колеблющейся точки при гармонических колебаниях:

.

· Период колебаний пружинного маятника (тела массой m, подвешенного на пружине жёсткостью k, рис. 1.16):

.

Формула справедлива для малых колебаний, пока выполняется закон Гука , и в пренебрежении массой пружины в сравнении с массой тела.

· Период колебаний математического маятника (материальной точки массой m, подвешенной на нерастяжимой невесомой нити длиной l, рис. 1.17):

,

где g –ускорение свободного падения.

· Период колебаний физического маятника (твёрдого тела, подвешенного в поле силы тяжести и способного колебаться относительно оси, не проходящей через центр масс, рис. 1.18):

.

Здесь J – момент инерции колеблющегося тела относительно оси колебаний, l – расстояние от центра масс маятника до оси (длина физического маятника),  – приведённая длина физического маятника (то есть длина такого математического маятника, который имеет тот же период колебаний).

 

Формулы для периода колебаний физического и математического маятников справедливы при малых углах отклонения, когда можно положить . Для α=150 ошибка в значении периода не превышает 1 %, а при α=30 ошибка равна 0.005 %.

· Период колебаний крутильного маятника (тела, подвешенного на упругой нити, рис. 1.19):

,

где J –момент инерции тела относительно оси, совпадающей с нитью,  – модуль кручения нити. Формула справедлива для упругих колебаний в пределах, в которых выполняется закон Гука: . Здесь M – момент упругой силы, возникающей при закручивании нити на угол .

· Полнаяэнергия гармонического осциллятора:

· Закон сохранения энергии при гармонических колебаниях:

.

· Амплитуда Арезультирующего колебания , полученного при сложении двух колебаний одинаковой частоты, происходящих по одной прямой,

 и

,

равна

,

где А1и А2 – амплитуды исходных колебаний;  и  – их начальные фазы (см. сложение колебаний по методу векторных диаграмм на рис. 1.20).

· Начальная фаза результирующего колебания при сложении однонаправленных колебаний:

.

· Уравнение траектории (рис. 1.21) точки, участвующей в двух взаимно перпендикулярных колебаниях одинаковой частоты,

 и ,

с амплитудами А1и А2 и начальными фазами  и :

,

где  – сдвиг фаз колебаний.

· Возвращающая (квазиупругая) сила, действующая на тело массой m при гармонических колебаниях:

,

где х –смещение колеблющейся точки из положения равновесия; ω – циклическая частота колебаний; – коэффициент пропорциональности. В частном случае пружинного маятника он равен жёсткости пружины.

· Дифференциальное уравнение гармонических колебаний

, или в стандартной форме:

,

где x – колеблющаяся величина; ω – круговая (циклическая) частота колебаний;  – коэффициент квазиупругой силы.

· Дифференциальное уравнение затухающих колебаний

, или в стандартной форме:

,

где r – коэффициент сопротивления (коэффициент пропорциональности между силой сопротивления и скоростью: );  – коэффициент затухания;  – круговая частота собственных (незатухающих) колебаний.

· Кинематическое уравнение затухающих колебаний (рис.1.22):

,    или     .

Здесь  – круговая частота затухающих колебаний:

.

· Амплитуда затухающих колебаний:

,

где А0–амплитуда колебаний в момент t=0.

· Логарифмический декремент затухания равен по определению логарифму отношения амплитуд  и  двух следующих друг за другом колебаний, то есть колебаний, отстоящих во времени друг от друга на один период (рис. 1.22):

,       или , или .

· Добротность

.

При условии  (затухание мало):

.

Если , то добротность обратно пропорциональна относительному изменению энергии  за один период:

.

· Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний:

,

или в стандартной форме:

.

Здесь  – вынуждающая сила (внешняя периодическая сила, действующая на колеблющуюся материальную точку и вызывающая вынужденные колебания);  – её амплитудное значение; ω – её циклическая частота; ;  – коэффициент затухания;  – циклическая частота собственных (незатухающих) колебаний.

· Кинематическое уравнение вынужденных колебаний:

.

· Амплитуда вынужденных колебаний как функция частоты (рис. 1.23):

.

· Начальная фаза вынужденных колебаний:

.

· Резонансная частота:

.

· Максимальная амплитуда (амплитуда при резонансе):

.

Волны

· Уравнение плоской волны, бегущей в положительном направлении оси OX (рис. 1.24):

,

где s – смещение частиц с координатой x из положения равновесия в момент времени t,

A – амплитуда,

ω – циклическая частота,

 – волновое число (модуль волнового вектора),

 – фазовая скорость (скорость распространения фиксированной фазы волны ),

 – длина волны (расстояние, на которое распространяется волна за время, равное периоду колебаний),

 – частота колебаний.

· Уравнениесферической волны:

,

Здесь s – смещение частиц с радиус-вектором  из положения равновесия в момент времени t;

 – волновой вектор, равный по величине , направленный вдоль луча;

 – амплитуда сферической волны; r – расстояние до источника.

· Скорость распространения продольных и поперечных упругих волн в твёрдом теле:

,        ,

где E – модуль Юнга, G – модуль сдвига, ρ – плотность.

· Скорость звука в газе:

,

где Т – абсолютная температура, R – универсальная газовая постоянная, μ – молярная масса газа, γ – показатель Пуассона (для воздуха ).

· Скорость распространения поперечной волны по струне:

,

где F – сила натяжения струны, S – площадь сечения струны, ρ – плотность.

Задачи к разделу 1

1. Два тела бросили одновременно из одной точки: одно – вертикально вверх, другое – под углом 600 к горизонту. Начальная скорость каждого тела 25 м/с. Пренебрегая сопротивлением воздуха, найти расстояние между телами через 1,7 с.

2. Две частицы движутся с ускорением g в однородном поле силы тяжести. В начальный момент частицы находились в одной точке и имели скорости 3 м/с и 4 м/с, направленные горизонтально в противоположные стороны. Найти расстояние между частицами в момент, когда векторы их скоростей окажутся взаимно перпендикулярными.

3. Кабина лифта, у которой расстояние от пола до потолка равно 2,7 м, начала подниматься с постоянным ускорением 1,2 м/с2. Через 2 с после начала подъема с потолка кабины стал падать болт. Найти: а) время свободного падения болта; б) перемещение и путь болта за время свободного падения в системе отсчёта, связанной с шахтой лифта.

4. В момент времени t=0 частица вышла из начала координат в направлении, противоположном оси x. Её скорость меняется по закону , где  см/с – модуль начальной скорости; Т=5 с. Найти: а) координату х частицы в моменты времени 6 с, 10 с и 20 с; б) моменты времени, когда частица будет находиться на расстоянии 10 см от начала координат; в) путь S, пройденный частицей за первые 4 с и 8 с; г) изобразить примерный график S(t).

5. Материальная точка движется прямолинейно с ускорением а=5 м/с2. Определить, насколько путь, пройденный точкой в n-ю секунду, будет больше пути, пройденного в предыдущую секунду. Принять .

6. Велосипедист ехал из одного пункта в другой. Первую треть пути он проехал со скоростью км/ч. Далее половину оставшегося времени он ехал со скоростью  км/ч, после чего до конечного пункта он шел пешком со скоростью  км/ч. Определить среднюю скорость велосипедиста.

7. Тело брошено с начальной скоростью с высоты h=2,4 м вверх под углом =350 к горизонту и упало на расстоянии l=37 м от места бросания. Найти начальную скорость тела.

8. Тело брошено с вышки в горизонтальном направлении со скоростью 20 м/с. Определить скорость тела и её направление в конце второй секунды после начала движения.

9. Твердое тело вращается вокруг неподвижной оси по закону , где а=6 рад/с, b=2 рад/с3. Найти: а) средние значения угловой скорости и углового ускорения за промежуток времени от начала вращения до остановки; б) угловое ускорение в момент остановки тела.

10. Точка движется по окружности радиусом R=30 см с постоянным угловым ускорением. Определить тангенциальное ускорение точки, если известно, что за время 4 с она совершила три оборота и в конце третьего оборота её нормальное ускорение =2,7 м/с2.

11. На верхнем конце наклонной плоскости укреплен легкий блок, через который перекинута нить с грузами m1=5,1 кг и m2=2,2 кг на концах. Груз m1 скользит вниз по наклонной плоскости, поднимая висящий на другом конце нити груз m2. Угол наклонной плоскости с горизонтом =370, коэффициент трения между грузом m1 и плоскостью равен 0,1. Определить ускорение грузов.

12. На верхнем конце наклонной плоскости укреплен легкий блок, через который перекинута нить с грузами m1=1,7 кг и m2=0,4 кг на концах. Груз m1 скользит вниз по наклонной плоскости, поднимая висящий на другом конце нити груз m2. Угол наклонной плоскости с горизонтом =480, ускорение грузов а=2,1 м/с2. Определить коэффициент трения между грузом m1 и плоскостью.

13. На разных склонах наклонной плоскости, образующих с горизонтом углы 320 и 480, находятся грузы m1=3,3 кг и m2. Нить, связывающая грузы, перекинута через легкий блок, укрепленный на вершине наклонной плоскости. Коэффициент трения между грузами и наклонной плоскостью равен 0,1, ускорение грузов а= –1,2 м/с2 (а > 0, если система движется в сторону груза m2). Определить массу второго груза m2.

14. На разных склонах наклонной плоскости, образующих с горизонтом углы 650и 350, находятся грузы m1=1,8 кг и m2=5,6 кг. Нить, связывающая грузы, перекинута через легкий блок, укрепленный на вершине наклонной плоскости. Коэффициент трения между грузами и наклонной плоскостью равен 0,12, ускорение грузов а (а > 0, если система движется в сторону груза m2). Определить ускорение грузов а.

15. Шарик массой m=45 г падает на горизонтальную поверхность стола с высоты h1=2,4 м и, отскочив, поднимается на некоторую высоту h2. Время соударения t=0,49 мс, средняя сила взаимодействия шарика со столом F=1200 Н. Найти h2.

16. Через блок перекинута нить, к концам которой подвешены гири массами m1=m2=1 кг. Какую силу нужно приложить к одной из гирь, чтобы гири стали двигаться с ускорением а=3 м/с2? Массой блока пренебречь.

17. Автомобиль массой m=5000 кг движется со скоростью 10 м/с по выпуклому мосту. Определить силу давления автомобиля на мост в его верхней точке, если радиус кривизны моста R=50 м.

18. Какую наибольшую скорость может развивать велосипедист, проезжая закругление R=50 м, если коэффициент трения скольжения между шинами и асфальтом равен 0,3? Каков угол отклонения  велосипеда от вертикали, когда велосипедист движется по закруглению?

19. Тело, двигаясь равноускоренно, соскользнуло с наклонной плоскости длиной l=2 м за время t=2 c. Определить коэффициент трения тела о плоскость. Угол наклона 300.

20. Тело массой 0.2 кг движется прямолинейно, причем координата изменяется по закону x=A–Bt+5t2–t3 (время – в секундах, координата – в метрах). Найти силу, действующую на тело в конце второй секунды движения.

21. Две лодки массами m1=250 кг и m2=370 кг идут параллельными курсами со скоростями =1,6 м/с и . Когда лодки оказываются рядом, из каждой лодки в другую перекладывается мешок массой m=32 кг, после чего лодки продолжают двигаться параллельными курсами, но со скоростями u1 и u2=2,1 м/с. Найти скорость u1.

22. Две лодки массами m1=310 кг и m2=160 кг идут параллельными курсами со скоростями  и . Когда лодки оказываются рядом, из каждой лодки в другую перекладывается мешок массой m=25 кг, после чего лодки продолжают двигаться параллельными курсами, но со скоростями u1= -1,7 м/с и u2=2,8 м/с. Найти скорость .

23. Снаряд, летящий со скоростью 750 м/с, разрывается на два осколка массами m1=45 кг и m2=17 кг, разлетающихся под углом  со скоростями u1=710 м/с и u2=900 м/с. Определить угол .

24. Снаряд, летящий со скоростью 550 м/с, разрывается на два осколка массами m1=14 кг и m2=8 кг, разлетающиеся под углом =950 со скоростями u1 и u2=830 м/с. Определить скорость u1.

25. Человек массой m1=55 кг, стоящий на одном конце первоначально покоящейся тележки массой m2=120 кг и длиной l=4,5 м, прыгает со скоростью  относительно земли под углом 250 к горизонту и попадает на другой конец тележки. Массу колёс, а также силу сопротивления движению тележки не учитывать. Определить скорость .

26. Человек массой m1=45 кг, стоящий на одном конце первоначально покоящейся тележки массой m2=160 кг и длиной l=3,5 м, прыгает со скоростью  5,5 м/с относительно земли под углом  к горизонту и попадает на другой конец тележки. Массу колес, а также силу сопротивления движению тележки не учитывать. Определить угол .

27. В деревянный шар массой m1=8 кг, подвешенный на нити длиной l=1,8 м, попадает горизонтально летящая пуля m2=4 г. С какой скоростью летела пуля, если нить с шаром и застрявшей в ней пулей отклонилась от вертикали на угол 30? Размером шара пренебречь. Удар пули считать прямым, центральным.

28. Шар массой m1=5 кг движется со скоростью 1 м/с и сталкивается с покоящимся шаром массой m2=2 кг. Определить скорости шаров после удара. Удар считать абсолютно упругим, прямым, центральным.

29. Шар массой m1=2 кг сталкивается с покоящимся шаром большей массы и при этом теряет 40% кинетической энергии. Определить массу m2 большего шара. Удар считать абсолютно упругим, прямым, центральным.

30. Два груза массами m1=10 кг и m2=15 кг подвешены на нитях длиной l=2 м так, что грузы соприкасаются между собой. Меньший груз был отклонен на угол 600 и отпущен. На какую высоту поднимутся оба груза после удара? Удар считать неупругим.

31. Шайба массой m=50 г соскальзывает без начальной скорости по наклонной плоскости, составляющий угол 300 с горизонтом, и, пройдя по горизонтальной плоскости расстояние l=50 см, останавливается. Найти работу сил трения на всем пути, считая всюду коэффициент трения равным 0,15.

32. Из пружинного пистолета с жёсткостью пружины k=150 Н/м был произведен выстрел пулей массой m=8 г. Определить скорость пули при выстреле её из пистолета, если пружина была сжата на 4 см.

33. Молот массой m1=5 кг ударяет о небольшой кусок железа, лежащий на наковальне. Масса наковальни m2=100 кг. Массой куска железа пренебречь. Удар неупругий. Определить КПД удара молота при данных условиях.

34. Если на верхний конец вертикально расположенной спиральной пружины положить груз, то она сожмется на 3 мм. Насколько сожмет пружину тот же груз, упавший на конец пружины с высоты 8 см?

35. Определить работу растяжения двух последовательно соединённых пружин жесткостями k1=0,5 кН/м и k2=1 кН/м, если первая пружина при этом растянулась на 2 см.

36. Две пружины жесткостями k1=400 Н/м и k2=250 Н/м соединены параллельно. Определить потенциальную энергию данной системы при абсолютной деформации 4 см.

37. Из шахты глубиной h=600 м поднимают клеть массой m=3 т на канате, каждый метр которого имеет массу m1=1,5 кг. Какая работа совершается при поднятии клети на поверхность Земли? Каков КПД подъемного устройства?

38. Налетев на пружинный буфер, вагон массой m=16 т, двигавшийся со скоростью 0,6 м/с, остановился, сжав пружину на 8 см. Найти общую жесткость пружин буфера.

39. Цепь длиной l=2 м лежит на столе, одним концом свисая со стола. Если длина свешивающейся части превышает 1/3 длины цепи, то цепь соскальзывает со стола. Определить скорость цепи в момент её отрыва от стола.

40. Материальная точка массой m=2 кг двигалась под действием некоторой силы согласно уравнению , где А=10 м, В= –2 м/с, С=1 м/с2, D= –0,2 м/с3. Найти мощность, развиваемую при движении, в моменты времени 2 c и 5 c.

41. Платформа, имеющая форму диска, может вращаться около вертикальной оси. На краю платформы стоит человек. На какой угол повернется платформа, если человек пойдет вдоль края платформы и, обойдя её, вернётся в исходную точку? Масса платформы m1=240 кг, масса человека m2=60 кг. Момент инерции человека рассчитывать как для материальной точки.

42. Маховик, вращающийся с постоянной угловой скоростью 62,8 рад/с, при торможении начал вращаться равнозамедленно. Когда торможение прекратилось, вращение маховика снова сделалось равномерным, но уже с угловой скоростью 37,7 рад/с. Определить угловое ускорение маховика и продолжительность торможения, если за время равнозамедленного движения маховик сделал N=50 оборотов.

43. Платформа в виде сплошного диска радиусом R=1,5 м и массой m1=180 кг вращается по инерции около вертикальной оси с частотой 10 об/мин. В центре платформы стоит человек массой m2=60 кг. Какую линейную скорость относительно пола помещения будет иметь человек, если он перейдет на край платформы?

44. По касательной к шкиву маховика в виде диска диаметром D=75 см и массой m=40 кг приложена сила F=10 Н. Определить угловое ускорение и частоту вращения маховика через 10 с после начала действия силы, если радиус шкива R= 12 см. Силой трения пренебречь.

45. Нить с привязанными к её концам грузами массой m1=50 г и m2=60 г перекинута через блок диаметром D=4 см. Определить момент инерции блока, если под действием силы тяжести грузов он получил угловое ускорение 1,5 рад/с2.

46. Маховик в виде диска массой m=50 кг и радиусом R=20 см был раскручен до угловой скорости 50 рад/с и затем предоставлен самому себе. Под влиянием трения маховик остановился. Найти момент сил трения, считая его постоянным, принимая во внимание, что: а) маховик остановился через 50 с; б) маховик остановился, сделав 200 оборотов.

47. На краю платформы в виде диска диаметром D=2 м, вращающейся по инерции вокруг вертикальной оси с частотой 0,13 Гц, стоит человек массой m=70 кг. Когда человек перешёл в центр платформы, она стала вращаться с частотой 0,16 Гц. Определить массу платформы.

48. Платформа в виде диска диаметром D=3 м и массой m1=180 кг может вращаться вокруг вертикальной оси. С какой угловой скоростью будет вращаться платформа, если по её краю пойдет человек массой m2=70 кг со скоростью 1,8 м/с относительно платформы?

49. Блок, имеющий форму диска массой m=0,4 кг, вращается под действием силы натяжения нити, к концам которой подвешены грузы массами m1=0,3 кг и m2=0,7 кг. Определить силы натяжения нити по обе стороны блока.

50. Человек массой m2=60 кг стоит на краю неподвижной платформы в виде диска диаметром D=0.8 м и массой m1=20 кг. С какой угловой скоростью начнёт вращаться платформа, если человек поймает мяч массой m3=1 кг, летящий со скоростью 10 м/с по касательной к краю платформы?

51. Маховик в виде сплошного диска радиусом R=20 см и массой m=50 кг раскручен до частоты вращения 8 Гц и предоставлен самому себе. Под действием силы трения маховик остановился через 50 с. Найти момент сил трения.

52. Маховик, массу которого m=5 кг можно считать распределенной по ободу радиусом R=20 см, свободно вращается вокруг горизонтальной оси, проходящей через его центр, с частотой 12 Гц. При торможении маховик останавливается через 20 с. Найти тормозящий момент и число оборотов, которые сделает маховик до полной остановки.

53. Вал в виде сплошного цилиндра массой m1=10 кг насажен на горизонтальную ось. На цилиндр намотан шнур, к свободному концу которого подвешена гиря массой m2=2 кг. С каким ускорением будет опускаться гиря, если её предоставить самой себе?

54. Сплошной цилиндр массой m=4 кг катится без скольжения по горизонтальной поверхности. Линейная скорость оси цилиндра 1 м/с. Определить полную кинетическую энергию цилиндра.

55. Обруч и сплошной цилиндр, имеющие одинаковую массу m=2 кг, катятся без скольжения с одинаковой скоростью 5 м/с. Найти кинетические энергии этих тел.

56. Шар катится без скольжения по горизонтальной поверхности. Полная кинетическая энергия шара 14 Дж. Определить кинетическую энергию поступательного и вращательного движения шара.

57. Определить линейную скорость центра шара, скатившегося без скольжения с наклонной плоскости высотой h=1 м.

58. Сколько времени будет скатываться без скольжения обруч с наклонной плоскости длиной l=2 м и высотой h=0,1 м?

59. Якорь мотора вращается с частотой 1500 об/мин. Определить вращающий момент, если мотор развивает мощность Р=500 Вт.

60. Пуля массой m=10 г летит со скоростью 800 м/с, вращаясь около продольной оси с частотой 3000 об/с. Принимая пулю за цилиндрик диаметром D=8 мм, определить полную кинетическую энергию пули.

61. Уравнение колебаний точки имеет вид:  (смещение из положения равновесия выражено в метрах, время – в секундах). Определить максимальные значения скорости и ускорения точки.

62. Точка совершает гармонические колебания по закону . В какой момент времени её потенциальная энергия равна кинетической энергии?

63. Тело массой m=10 г совершает колебания по закону , где x0=2 см; ω=4π рад/с. Найти функциональную зависимость от времени силы, действующей на тело, и его кинетической энергии; вычислить их максимальные значения.

64. Материальная точка массой m=50 г совершает гармонические колебания согласно уравнению  (здесь x0=0.05 м). Определить: а) возвращающую силу F для момента времени t=0,5 с; б) полную энергию материальной точки.

65. Математический маятник массой m=10 г и длиной l=1 м совершает гармонические колебания по закону  (рад). Определить силу натяжения в момент времени t=T/2.

66. Физический маятник совершает малые колебания вокруг горизонтальной оси О с циклической частотой ω1=15 с-1. Если в положении равновесия к нему прикрепить под осью О на расстоянии l=20 см от неё небольшое тело массой m=0,05 кг, то частота колебаний становится ω2=10 с-1. Найти момент инерции первоначального маятника относительно оси О.

67. Логарифмический декремент затухания колебаний математического маятника длиной l=0,85 м равен 0.011. Определить, во сколько раз уменьшится полная механическая энергия маятника за время t=75 c.

68. Начальная амплитуда колебаний математического маятника А0=0,2 м. Амплитуда после 10 полных колебаний А10=0,01 м. Определить логарифмический декремент затухания и коэффициент затухания, если период колебаний Т=5 с. Записать уравнение колебаний.

69. Складываются два взаимно перпендикулярных колебания, выражаемых уравнениями  см и  см. Найти уравнение траектории и построить её на чертеже, показав направление движения точки.

70. Материальная точка участвует одновременно в двух взаимно перпендикулярных колебаниях, выражаемых уравнениями  см и  см. Найти уравнение траектории и построить её на чертеже.

71. Плоская волна с периодом T=1.2 с и амплитудой А=2 см распространяется со скоростью υ=15 м/с. Чему равно смещение точки, находящейся на расстоянии l=45 м от источника волн, в тот момент, когда от начала колебаний источника прошло t=4 с? Колебания происходят по закону косинуса.

72. Плоская волна распространяется от источника колебаний вдоль прямой OX. Смещение точки из положения равновесия для момента времени t=T/2 составляет s=5 см. Точка удалена от источника колебаний на расстояние, равное l=l/3. Определить амплитуду колебаний. Колебания источника происходят по закону косинуса.

73. Плоская звуковая волна распространяется вдоль прямой со скоростью υ=300 м/с. Две точки, находящиеся на этой прямой на расстоянии l1=12 м и l2=15 м от источника, колеблются с разностью фаз Δφ=0.75p. Найти длину волны, написать уравнение волны и найти смещение обеих указанных точек в момент времени, равный t=1.2 с, если амплитуда колебаний А=1 мм. Колебания происходят по закону косинуса.

74. Скорость звука в воде υ=1450 м/с. На каком расстоянии находятся ближайшие точки, совершающие колебания в противоположных фазах, если частота колебаний равна ν=725 Гц?

75. Смещение от положения равновесия точки, находящейся на расстоянии l=4 см от источника колебаний, колеблющегося по закону: s=sin(ωt),в момент времени t=T/6 равно половине амплитуды (s выражено в метрах, t – в секундах). Найти длину волны. Волна плоская.

76. Уравнение незатухающих колебаний дано в виде  (смещение из положения равновесия – в см, время – в с). Найти смещение от положения равновесия, скорость и ускорение точки, находящейся на расстоянии l=20 м от источника колебаний, для момента времени t=1 с после начала колебаний. Скорость распространения волны υ=100 м/с. Волна плоская.

77. Два источника колебаний, лежащие в точках с координатами х1=0 м х2=10 м, колеблются по одинаковому закону  (смещение из положения равновесия – в метрах, время – в секундах). Написать уравнение колебаний в точке А, координата которой равна хА=13 м. Скорость распространения волн равна 320 м/с. Волны считать плоскими.

78. Определить разность фаз Δφ колебаний двух точек среды, находящихся на расстоянии Δl=0.1 м друг от друга, если в среде распространяется плоская волна вдоль линии, соединяющей эти точки. Скорость распространения волны υ=314 м/с, частота колебаний источника ν=1000 Гц.

79. Два точечных когерентных источника звуковых волн одинаковой мощности находятся в воздухе на расстояниях l1=2.5 м и l2=2.4 м от микрофона. Определить отношение амплитуд результирующего и исходного колебаний, если длина волны λ=0.3 м.

80. Для звуковой волны, описываемой уравнением , где амплитуда выражена в метрах, круговая частота – в с-1, волновое число – в м-1, найти: а) скорость распространения волны υ; б) амплитуду скорости частиц среды υmax и её отношение к скорости распространения волны ; в) длину волны λ и отношение амплитуды смещения частиц среды к длине волны .

 

Раздел 2. ГИДРОДИНАМИКА.




⇐ Предыдущая12345678910Следующая ⇒






Последнее изменение этой страницы: 2018-04-12; просмотров: 450.

stydopedya.ru не претендует на авторское право материалов, которые вылажены, но предоставляет бесплатный доступ к ним. В случае нарушения авторского права или персональных данных напишите сюда...