Логарифмічний нормальний закон розподілу

 Нехай Y має закон розподілу ,

 - ∞<y<∞.

Необхідно знайти f(x), якщо Х= . Таким чином, Y є функцією випадкового аргументу Х. Тоді Оскільки

Отже,

Закон розподілу випадкової величини Х із цією щільністю називають логарифмічним нормальним законом.

29. Показниковий закон розподілу

. .

Щільність розподілу випадкової величини, розподіленої за показниковим законом, задається формулою:

Випадкові величини з таким законом розподілу широко застосовуються в задачах з теорії надійності та теорії масового обслуговування. Числові характеристики:

Ме=ln2/a.

Серед усіх законів неперервних випадкових величин лише експоненціальному притаманна властивість – відсутність післядії, а саме: якщо пов”язати випадкову величину із часом, то для цього закону минуле не впливає на передбачення подій у майбутньому. Цю властивість закону використовують у харківських випадкових процесах, теорії масового обслуговування, теорії надійності.

30. Розподіл  Розглядаємо послідовність  попарно незалежних випадкових величин, які розподілені нормально з нульовими математичними сподіваннями і одиничними дисперсіями.

Якщо  то ця сума має розподіл  з  ступенями волі. Щільність розподілу  Числові характеристики розподілу:  До виразу щільності розподілу входить гамма-функція  

Графік щільності розподілу зображено на рис. 3.3.

Для розподілу  складено таблиці виду  для кількості ступенів волі від 1 до 30. У таблицях для заданих значень імовірностей (здебільшого  0,9; 0,8; 0,7; 0,5; 0,3; 0,2; 0,1; 0,05; 0,02; 0,01; 0,005; 0,002; 0,001) вказано значення  для відповідної кількості ступенів волі. Якщо кількість ступенів волі більша від 30, то розподіл мало відрізняється від нормального з відповідними математичним сподіванням і дисперсією.

M(X)=n. D(X)=2n.

31.Розподіл Стьюдента. Розподіл Стьюдента з n cтупенями волі має випадкова величина  де Х — нормально розподілена величина з нульовим математичним сподіванням і одиничною дисперсією, а . Випадкова величина  не залежить від Х і має розподіл з n ступенями волі. Щільність розподілу  Графік щільності розподілу Стьюдента за зовнішнім виглядом нагадує нормальні криві. Але вони значно повільніше спадають до осі t, якщо особливо за малих значень n

Складено таблиці розподілу Стьюдента, здебільшого виду  для кількості ступенів волі від 1 до 20. Якщо кількість ступенів волі більша, то можна застосовувати нормальний закон розподілу з нульовим математичним сподіванням і одиничною дисперсією.

M(Z)=0. .

32. Розподіл Фішера. Якщо випадкові величини  незалежні і мають  — розподіл відповідно з  ступенями волі, то випадкова величина  має розподіл Фішера з  ступенями волі. Щільність цього розподілу подається формулою:

Щільність розподілу Фішера має графік, зображений на

Для розподілу Фішера складено таблиці, в яких для відповідної кількості ступенів волі для ймовірностей  наведено значення  –