Задачи для самостоятельного решения

ЗАДАЧА 3.24. Рассчитать мгновенные и действующие значения напряжений и токов схемы рис. 3.24, составить баланс активных и реактивных мощностей, построить полную векторную диаграмму напряжений и токов, если:

u(t) = 200×sin(wt +120°) B;

х₁ = 28 Ом; х₃ = 24 Ом; r₂ = 24 Ом.

Ответы: i₁(t) = 10×sin(wt + 66,87°) A; u_ab(t) = 280×sin(wt +156,87°) B;

u_bc(t) = 120 ×sin(wt +21,87°) B; i₂(t) = 5 ×sin(wt +21,87°) A;

i₃(t) = 5 ×sin(wt +111,87°) A; P = 600 Вт; Q = 800 вар.

ЗАДАЧА 3.25. Методом проводимостей определить показания прибо-ров электродинамической системы в схеме рис. 3.25, если:  u = 200 B;

х₁ = 8 Ом; х₂ = 10 Ом; r₃ = 5 Ом;

 х₃ = 15 Ом;   r₁ = 6 Ом.

Построить векторную диаграм-му цепи.

Ответы: A₁ ®10 A; V ® 224 B;

A₂ ® 22,4 A; A₃ ® 14,14 A;

W ® 1000 Вт.

Задачи повышенной сложности решения

ЗАДАЧА 3.26. Опре-делить напряжение и ток источника питания схемы рис. 3.26 и её параметры по известным показаниям при-боров: V₁® 80 B; V₂®100 B;

 A₁ ® 1 A; A₂ ® 1,6 A;

W ® 180 Вт.

Построить векторную диаграмму цепи.

Ответы:   u = 81,47 B; i  = 2,27 A;

 r₁ =100 Ом; х = 35,2 Ом; х₂ = 54,13 Ом.

ЗАДАЧА 3.27. Цепь рис. 3.27 находится в состоянии резонанса. Ваттметр показывает 100 Вт, ампер-метры A₁ и A₂ – 4 и 5 А, R₁ = R₂. Требуется определить х_L, х_C и показа-ние амперметра А₀.

Ответы: i₀= 11,33 A; х_L = 2,205 Ом; х_C = 1,41 Ом.

3.3.4. Применение ПЭВМ для решения задач на метод проводимостей

ЗАДАЧА 3.28. В схеме рис. 3.28 рассчитать все токи, составить баланс активных и реактивных мощностей, если  u = 200 B;

r₁ = r₂ = 2 Ом; r₃ = 4 Ом;   r₄ = 20 Ом; х_C1 = х_C2 = 8 Ом; х_L = 6 Ом.

Программа решения задачи в системе MathCAD

Исходные данные

u := 200   r1 := 2   r2 := 2   r3 := 4   r4 := 20    хC1 := 8 хC2 := 8     хL := 6

Определяем полные сопротивления, а также активные и реактивные проводимости параллельно включенных ветвей

Z2 := Z3 := g2 :=   g3 :=   g4 :=

b2 :=   b3 :=   b4 := 0

Активная, реактивная и полная проводимости эквивалентной ветви

ge := g2 + g3 + g4 be := b2 – b3 + b4    ye :=

Полное, активное и реактивное сопротивления эквивалентной ветви

Ze := ye ^-1       re := ge×Ze² xe := be×Ze²

Полное входное сопротивление цепи Z :=

Ток в неразветвлённой части цепи   I1 :=

Напряжение на параллельно включенных ветвях U12 := I1×Ze

Токи в параллельно включенных ветвях  I2 :=  I3 :=  I4 :=  

Ответы для токов в А I1 = 20 I2 = 20 I3 = 14.142  I4 = 6.325

Активная и реактивная мощности источника

Pi := U×I1×   Qi := U×I1×   Pi = 3.2´10³ Qi = -2.4´10³    

Активная и реактивная мощности приёмников

Pp := I1²×r1+I2²×r2+I3²×r3+I4²×r4           Qp := -I1²×xC1+I2²×xL-I3²×xC2

Pp = 3.2´10³ Qp = -2.4´10³                    

Следовательно, балансы мощностей сходятся.

Комплексный (символический) метод

ЗАДАЧА 3.29. Решить задачу 3.2 комплексным методом.

Решение

Исходные данные представим комплексными числами:

комплексная амплитуда напряжения сети U_m = U_m×e ^jyu = 200×e ^{– j20°} B;

комплексное сопротивление цепи r-L

Z = r + jwL = 35 + j2p×50×80×10^-3 = 35 + j25,12 = 43,1×e ^j35,67° Ом.

По закону Ома рассчитаем комплексную амплитуду тока

I_m = = = 4,64×e ^–j55,67° А.

Мгновенное значение тока

i(t) = Im = Im =

= Im = 4,64×sin(wt – 55,67°) A.

Комплексная мощность на входе цепи

S = = = 464×e ^j35,67° = 377 + j270,5  ВА = Р + jQ.

ЗАЛАЧА 3.30. В схеме рис. 3.29 определить действую-щее и мгновенное значение напряжения на ёмкости, если

u = 380 B; r = 1 кОм; С = 2 мкФ.

Решение

Совместим вектор входного напряжения с вещественной осью. Тогда

U = U = 380 B.

Комплексное сопротивление цепи

Z = r – jх_С = r – j  = 1000 – j  = 1000 – j1592 = 1880×e ^-j57,87° Ом.

По закону Ома определяем комплекс тока в цепи

I = = = 0,202×e ^j57,87° А.

Комплекс напряжения на ёмкости

U_С = I×(-jх_С) = 0,202×e ^j57,87°×(-j1592) = 321,8×e ^–j32,13° В.

Мгновенное значение напряжения на ёмкости

u_С(t) = Im = 455,1×sin(wt – 32,13°) В.

ЗАДАЧА3.31. В схеме рис. 3.30 определить показание амперметра, если  u(t) = 300×sin(wt – 32,13°) В; r₁ = 12 Ом; r₂ = х_L1 = 16 Ом; х_L2 = 20 Ом; х_C2 = 32 Ом; r₃ = х_L3 = 100 Ом; х_C1 = 12,5 Ом.  

Решение

Определим комплексные сопротивления параллельных ветвей

Z₁ = r₁ + jх_L1 = 12 + j16 Ом;       Z₂ = r₂ + j(х_L2 – х_С2) = 16 – j12 Ом;

Z₃ = r₃= 100 Ом; Z₄ = -jх_С1 = -j12,5 Ом; Z₅ = jх_L3 = j100 Ом.

Комплексная проводимость всей цепи

Y = + + + = + + + + =

= 0,08 + j0,06 = 0,1×e ^j36,9° См.

Комплекс входного напряжения, соответствующий его синусоиде

U = ×e ^–j30° В.

По закону Ома определяем ток в неразветвлённой части цепи

I = Y×U = 0,1×e ^j36,9°× ×e ^–j30° =

= 21,21×e ^j6,9° А.

Следовательно, амперметр будет показывать 21,21 А.

 ЗАДАЧА3.32. В условиях задачи 3.25 определить показания приборов электродинамической системы, используя комплексный метод.

Решение

Направим по вещественной оси вектор входного напряжения, то есть примем U = U = 200 B.

Определим комплексные сопротивления ветвей

Z₁ = r₁ – jх₁ = 6 – j8 Ом;  Z₂ = jх₂ = j10 Ом;       Z₃ = r₃ – jх₃ = 5 – j15 Ом.

Комплексное сопротивление всей цепи

Z = Z₁ + = 6 – j8 + = 16 + j12 Ом.

Ток источника I₁ = = = 8 – j6 = 10×e ^–j36,9° А.

Токи параллельных ветвей

I₂ = I₁×  = 10×e ^–j36,9°× = 10 – j20 = 22,36×e ^–j63,4° А;

I₃ = I₁×  = 10×e ^–j36,9°× = -2 + j14 = 14,14×e ^j98,1° А.

Напряжение на параллельных ветвях (измеряется вольтметром и подаётся на ваттметр)

U_W = I₂×Z₂= 22,36×e ^–j63,4°·j10 = 223,6×e ^j26,6°= 200 + j100 B.

Показание ваттметра

P_W = Re[U_W × ] = Re[223,6×e ^j26,6°×10×e ^j36,9°]= 1000 Bт.

Следовательно, показания приборов:

А₁ ® 10 А;  А₂ ® 22,36 А;  А₃ ® 14,14 А; V ® 223,6 B; W ® 1000 Bт.

ЗАДАЧА 3.33. В схеме рис. 3.31,a известно: Е₁ = Е₂ = 100 В, причём Е₂ опережает Е₁ на 90° по фазе; J = 5 A, причём ток этого источника находится в противофазе с Е₂; r = х_C = 10 Ом; х_L = 20 Ом.

Требуется определить токи во всех ветвях, показание ваттметра, составить баланс реактивных мощностей, построить топографическую диаграмму для контура 1-2-3-1.

Решение

Совместим с вещественной осью вектор Е₁, тогда для источников комплексы будут следующими:

Е₁ = 100 В; Е₂ = 100×e ^j90° = j100 B; J = 5×e ^-j90° = -j5 A. 

Поскольку в схеме два узла, то расчёт токов рационально произвести методом узлового напряжения U₁₂ = ,

где комплексные проводимости ветвей: Y₁ = = = 0,1 См;

Y₂ = = = = -j0,1 См;

Y₃ = = = j0,1 См.

Тогда U₁₂ = = j50 В.

По закону Ома определяем токи:

I ₁ = = = 10 – j5 А;

I ₂ = (Е₂ + U₁₂)×Y₂ = (j100 + j50)×(-j0,1) = 15 А;

I ₃ = U₁₂×Y₃ = j50×j0,1 = -5 А.

Правильность определения токов проверим по первому закону Кирхгофа для узла 1: -I ₁ + I ₂ + I ₃ + J = 0 или -10 + j5 +15 – 5 – j5 = 0.

Показание ваттметра: P_W = Re[U₁₄×(- )].

По второму закону Кирхгофа

U₁₄ = -Е₂ + I ₂×(-jх_С) = -j100 + 15×(-j10) = -j250 В.