Амплитудное значение напряжения на ёмкости

u_Cm = I_m× x_C = 10×39,81 = 398,1 B.

Действующие значения

I = = = 7,07 A,  u_C = = = 281,5 B.

Действующие значения напряжений на активных сопротивлениях

u_r1= I× r₁ = 7,07×10 = 70,7 B, u_r2= I× r₂ = 7,07×20 = 141,4 B.

II-й закон Кирхгофа в векторной форме при одном токе I имеет вид u_r1+u_r2+u_C = u, в соответствии с которым построена векторная диаграмма цепи (рис. 3.4,б).

Из прямоугольного треугольника напряжений (наружный треугольник)

u = = = 352 B,

j = arctg = arctg = -53°.

Мгновенное значение напряжения сети

u(t)= U_m×sin(ωt+ψ_i+j) = u× ×sin(ωt+15°+(-53°)) = 352 ×sin(ωt – 38°) B.

Напряжение на конденсаторе по фазе отстаёт от тока на 90°, его мгновенное значение  u_C(t)= 398,1×sin(ωt – 75°) B.

Напряжение на участке r₂-C, приложенное к ваттметру и вольтметру, рассчитаем по треугольнику напряжений u₂-u_r2-u_C:

u₂ = u_W = = = 315 B.

Вольтметр схемы рис. 3.4,а измеряет действующее значение напряже-ния u₂= 315 B.

Показание ваттметра: P_W = u_W ×I_W ×cos .

В нашем примере I_W  = I, поэтому

P_W = u₂×I×cosj ₂ = I×(u₂×cosj ₂)= I×u_r2= I×I×r₂ = I²×r₂ = P₂ – активная мощность, потребляемая сопротивлением r₂, и  P₂ = 7,07²×20 = 1000 Bт.

ЗАДАЧА 3.4. Найти токи и напряжения в электрической цепи рис. 3.5,а, если: активное сопротивление катушки r_к = 4 Ом, индуктивное сопротивле-ние катушки х_к = 6 Ом,  активное сопротивление реостата R = 2 Ом, ёмкост-ное сопротивление конденсатора х_С = 14 Ом, напряжение сети переменного тока U = 50 В.Построить векторную диаграмму цепи.

Решение

Ток цепи I, измеряемый амперметром А:

I = = = = 5 А.

Угол сдвига фаз цепи j_вх = arctg = arctg = -53,13° < 0.

Вольтметр V измеряет входное напряжение U = 50 В.

Напряжение на катушке измеряется вольтметром V₁:

U_к = = I×Z_к = I× = 5× = 36 В.

Напряжение на реостате:    U_R = I×R = 5×2 = 10 В,

напряжение на конденсаторе U_C = I×х_С = 5×14 = 70 В.

Векторная диаграмма цепи построена на рис. 3.5,б.

Ваттметр измеряет активную мощность цепи

Р = U×I×cosj_вх = I₂²×(r_к + R) = 5²×(4 + 2) = 150 Вт.

Обращаем внимание на то, что в последовательной цепи при наличии разнородных реактивных элементов (индуктивного и ёмкостного), напряже-ние на реактивном элементе может быть больше напряжения сети:

U_C = 70 В > U = 50 В.

ЗАДАЧА 3.5. В условиях задачи 3.4 при неизменном напряжении сети и параметрах  r_к, х_к, R  в широких пределах изменяется сопротивление кон-денсатора х_С(0¸¥).

Построить резонансные кривые I(х_С), U_L(х_С), U_С(х_С).

Решение

Ток в последовательной цепи рис. 3.5,а:

I = =  А,

напряжение на индуктивности U_L = I×х_L = I×6 В,

напряжение на ёмкости

U_С = I×х_С = =  В.

Результаты расчёта резонансных кривых сведены в табл. 3.3.

Таблица 3.3

В табл. 3.3 выделена колонка, когда х_к=х_С=6 Ом и в цепи наступает резонанс напряжений U_L=U_С. При этом входное сопротивление цепи минимальное    Z_{вх min} = r_к+R = 6 Ом,

а ток максимальный I_max = = = 8,33 A.

Кривая напряжения U_L повторяет по форме кривую тока, так как х_к=const, и тогда U_Lmax = I_max×х_к = 8,33×6 = 50 В.

Найдём максимальное значение U_Сmax в зависимости от х_С, исследовав кривую U_С(х_С) на максимум.

Координата х_С при U_С = U_Сmax определится уравнением

= 0 или – = 0,

(r_к+R)² + х_к² – 2 х_к х_С + х_C² + х_к х_С – х_C²= 0,

откуда = = = 12 Ом.

ЗАДАЧА 3.6. Определить показания приборов в схеме рис. 3.7,а, мгновенное значение тока i₁ в неразветвлённой части схемы, построить векторную диаграмму, если:

Решение

Приборы реагируют на действующие значения величин.

Действующие значения токов параллельных ветвей

I₂= = = = 2 = 2,83 А,

I₃= = = 2 = 2,83 А.

Так как ток в активном сопротивлении i₃ совпадает по фазе с напряжением, ток в ёмкости опережает по фазе напряжение на 90°, а в соответствии с І законом Кирхгофа i₁ = i₂ + i₃, то треугольник токов на векторной диаграмме (рис. 3.7,б) прямоугольный, откуда

I₁= = = 4 А.

угол сдвига фаз между током i₁ и напряжением u на входе схемы отрицательный и равен

j = -arctg = -arctg1= -45°.

Мгновенное значение тока

i₁(t) = I_1m×sin(ωt +y_u – j) = 4 ×sin(ωt + 70°) A.

Показания амперметров

A₁ ®  I₁= 4 А,     A₂ ®  I₂= 2,83 А,    A₃ ®  I₃= 2,83 А.

Показание ваттметра

P_W = u_W ×I_W ×cos = u×I₁×cosj = ×4×cos45° = 400 Вт.

Заметим, что по схеме рис. 3.7,а ваттметр измеряет активную мощность части цепи, находящейся справа от ваттметра. Но по закону Джоуля-Ленца в этой части расходуется мощность только в активном сопротивлении r₃, причём

Р₃ = I₃²×r₃ = ×50 = 400 Вт, что совпадает с показанием ваттметра.

ЗАДАЧА 3.7. Найти показания приборов в схеме рис. 3.8,а, построить векторную диаграмму, если u = 200 В, r₁= 30 Ом, х₁= 40 Ом, r₂= 50 Ом.

Проверить балансы активных и реактивных мощностей.

Решение

Токи параллельных ветвей рассчитаем по закону Ома и определим соответствующие показания амперметров:

I₂= = = = 4 А,                            ® А₂,

I₁= = = = 4 А, ® А₁.

Ток i₂ в активном сопротивлении совпадает по фазе с напряжением u, ток i₁ отстаёт на угол j ₁, так как в этой ветви имеется индуктивность, а сам угол j ₁ определим из треугольника сопротивлений этой ветви

j ₁ = arctg = arctg = 53,13°.

При этом cosj ₁ = = = 0,6, sinj ₁ = = = 0,8.

Всё изложенное учтено при построении векторной диаграммы цепи (рис. 3.8,б).

В рассматриваемом примере получен косоугольный треугольник токов I₁, I₂, I. Задача расчёта косоугольного треугольника токов сводится к прямоугольному, если систему векторов токов спроецировать на два взаимно перпендикулярных направления: на направление вектора напряжения (проекции векторов токов называются активными составляющими) и направление, перпендикулярное вектору напряжения параллельного участка (проекции называются реактивными составляющими).

При этом I_2a = I₂ = 4 A, I_2p = 0,

I_1a = I₁×cosj₁ = 4×0,6 = 2,4 A, I_1p = I₁×sinj₁ = 4×0,8 = 3,2 A.

Из наружного прямоугольного треугольника определяется суммарный ток параллельных ветвей, измеряемый амперметром А:

I = = = 7,16 А.

Далее j = arctg = arctg = 26,57°,

cosj = = = 0,447, sinj = = = 0,224. 

Показание ваттметра P_W = u×I×cosj = u×SI_а= 200×6,4 = 1280 Вт – это активная мощность источника Р_Г.

Суммарная активная мощность потребителей рассчитывается по закону Джоуля-Ленца: SР_П = I₁²×r₁ + I₂²×r₂ = 4²×30 + 4²×50 = 1280 Вт. 

Так как для схемы Р_Г = SР_П, то баланс активных мощностей сходится.

Реактивные мощности:

- генератора    Q_Г = u×I×sinj = u×I_p= 200×3,2 = 640 вар;

- потребителей SQ_П = I₁²×х₁ = 4²×40 = 640 вар,

то есть выполняется и баланс реактивных мощностей.