Расчет цепей методом комплексных амплитуд

Метод комплексных амплитуд состоит в следующем:

1) исходная схема электрической цепи заменяется комплексной схемой замещения, в которой:

а) все пассивные элементы заменяются их комплексными сопротивлениями, как показано на рис. 4.27.

б) все токи и напряжения в схеме заменяются их комплексными амплитудами, т.е. х(t) = X_m cos(w₀t – j_x) ® X_m = X_m e^–jjx.

2) Расчет электрической цепи сводится к составлению уравнений состояния цепи на основе законов Ома и Кирхгофа в комплексной форме и нахождению комплексных амплитуд токов или напряжений на интересующих нас участках цепи, т.е. Y_m = Y_m e^–jjy.

3) Запись окончательного решения состоит в замене рассчитанных комплексных амплитуд на гармонические функции времени, т.е.

Y_m =Y_m e ^–jjy ® y(t) = Y_m cos(w₀t – j_y).

Пример 1. Алгоритм метода рассмотрим на примере анализа цепи, схема которой приведена на рис. 4.29.

Рис.4.29. RLC-цепь второго порядка

Рис.4.30.Комплексная схема замещения цепи

На вход цепи подается синусоидальное воздействие u(t)=U_mcos(ωt+φ_u). Параметры воздействия и элементов цепи известны: U_m=1 В, ω =1рад с^-1, φ_u=90⁰ , R=1 Ом, L=1 Гн, C=1 Ф. Требуется определить токи и напряжения ветвей, построить векторную диаграмму.

Решение.

1. Составим схему замещения цепи в частотной области, заменив элементы цепи комплексными двухполюсниками, как это показано на рис. 4.30.

2.  Представим воздействие в комплексной форме: .

3. Рассчитаем комплексные сопротивления элементов схемы:

Z_R=1, Z_L=jωL=j, ZC=-j(ωC)^-1 =-j.

3. Произведем расчет реакций (токов и напряжений) в комплексной области. Для этого воспользоваться законами Кирхгофа и Ома в комплексной форме, а также известными методами расчета резистивных цепей.

Найдем входное сопротивление цепи, используя правила эквивалентного преобразования

, ,   ,

,

Рассчитаем комплексные амплитуды входного тока и напряжения на L-элементе

, .

Найдем комплексную амплитуду напряжения на RC-элементах:

.

Рассчитаем комплексные амплитуды тока на R и С-элементах

, .

Запишем гармонические функции найденных токов и напряжений

A, B, A,

A, A.

Рис. 4.31. Векторная диаграмма

4. Построим векторную диаграмму для токов и напряжений в цепи. Для этого на комплексной плоскости откладываются в соответствующем масштабе найденные токи и напряжения, как показано на рис. 4.31.

Векторная диаграмма показывает амплитуду и начальную фазу любого тока или напряжения. Построение векторной диаграммы, как правило, является конечным результатом решения подобных задач. Зная ее можно записать временную функцию тока или напряжения.

Пример 2.  Для цепи, изображенной на рис. 1 требуется:

1. Определить комплексным методом действующие значения напряжений и токов на всех участках цепи.

2. Определить активные, реактивные и полные мощности каждого участка цепи и всей цепи.

3. Составить баланс активных и реактивных мощностей и оценить погрешность расчета.

4. Построить векторную диаграмму токов и напряжений.

Рис. 1

Исходные данные:
U = 127 В , r1 = 15 Ом , C1 = 60 мкФ, r2 = 10 Ом , L2 = 80 мГн, r3 = 15 Ом , C3 = 90 мкФ. Частота питающего напряжения 50 Гц.