Пример выполнения задачи 1.

Для электрической цепи постоянного тока, приведенной на рис. 4:

1. Рассчитать эквивалентное сопротивление цепи.

2. Рассчитать ток в каждом резисторе.

3. Проверить выполнение первого закона Кирхгофа во всех узлах схемы и второго Закона Кирхгофа для одного из контуров.

4. Определить мощности, рассеиваемые на резисторах схемы.

5. Проверить выполнение баланса мощностей

Рис. 4. Электрическая цепь постоянного тока

1. Расчет эквивалентного сопротивления цепи проводим методом последовательных эквивалентных преобразований..

а)                    б)                    в)

Рис. 5. "Этапы эквивалентного преобразования электрической цепи

Эквивалентное сопротивление ветвей R₃ и R₄ соединенных параллельно определяем по формуле:

,

.

Эквивалентное сопротивление элементов R₂, R₃₄ и R₅, соединенных последовательно находим по формуле:

,

.

Эквивалентное сопротивление всей цепи (R₂₃₄₅ и R₁ -соединены параллельно):

,

.

2. Рассчитаем токи во всех ветвях.

Ток, потребляемый цепью от источника питания:

,

_.

Ток в ветви R1:

Ток в ветви R₂₃₄₅:

,

.

Определяем потенциал узла «б»:

,

.

Определяем потенциал узла «в»:

.

Очевидно, что I₅ = I₂, откуда

.

Определяем разность потенциалов между узлами «б» и «в»:

,

.

Определяем токи в ветвях R3 и R4:

,

;

,

.

3. Проверяем выполнение первого закона Кирхгофа для токов в узлах.

Для узла «а»: ,

.

Для узла «б»: ,

.

Для узла «в»: ,

                  .

Проверяем выполнение второго закона Кирхгофа для контура R₅, R₃, R₂, R₁:

,

,

.

4. Определяем мощности, рассеиваемые на резисторах:

,

;

,

;

,

;

,

;

,

.

5. Проверяем выполнение баланса мощностей.

Мощность, потребляемая цепью от источника питания:

,

.

Составляем уравнение для проверки баланса мощностей:

,

, .

Баланс мощностей выполняется.

Методические указания к выполнению задания  2.

Методы расчета цепей постоянного тока

Под расчетом цепи, в общем случае, понимают нахождение токов во всех ветвях схемы.

Основные методы расчета:

1. Метод токов ветвей или метод непосредственного применения законов Кирхгофа..

2.Метод контурных токов.

3. Метод узловых напряжений.

4. Метод наложения.

5. Метод эквивалентных преобразований

Метод токов ветвей

• В общем случае токи сложной электрической цепи могут быть определены в результате совместного решения уравнений, составленных по первому и второму законам Кирхгофа.. Для однозначного нахождения всех токов необходимо составить уравнений равное числу ветвей.

Последовательность расчета следующая:

1. Проводят топологический анализ схемы.

1.1. обозначают токи во всех ветвях (I1, I2, …,Iв), произвольно выбирают их положительное направление и обозначают на схеме стрелками;

1.2. подсчитывают общее число узлов у и определяют число независимых узлов Nу=у-1 и показывают их на схеме;

1.3. подсчитывают число независимых контуров Nk = в-у+1, и показывают их на схеме дугой.

2. По первому закону Кирхгофа для независимых узлов и по второму закону Кирхгофа для независимых контуров относительно токов ветвей записывают уравнения. После приведения подобных членов они сводятся к системе линейных алгебраических уравнений (ЛАУ),

• где x_i =Ii– искомые токи ветвей; a_ji – постоянные коэффициенты, зависящие от параметров пассивных элементов схемы; в_i – постоянные величины, зависящие от параметров активных элементов схемы.

3. Решают систему из в уравнений относительно токов, по методу Крамера и находят токи во всех ветвях схемы. Если значения токов отрицательные, то действительные направления противоположны первоначально выбранным.

где D – главный определитель системы; Di – определитель, получается из главного D путем замены i-го столбца на столбец свободных членов в_i.

Пример. Для электрической цепи рис. 1. рассчитать токи в ветвях.

число независимых узлов Nу=у-1=1 число независимых контуров Nk = в-у+1=3-2+1=2

Пример 2.1

Определить токи в ветвях схемы, приведенной на рис. 2.4, если E₁=110 В, Е₂=64 В, J=4 А; R₁=6 Ом, R₂=4 Ом, R₃=3 Ом; R₄=1 Ом.

Решение

1. Проводим топологический анализ.

Задаем положительные направления токов в ветвях (рис. 2.4) и направления обхода в контурах . Определяем число ветвей в=5, в том числе с источником тока в_i=1.

число узлов в схеме у=3 число независимых узлов Nу=у-1=3-1=2, (a и b).

подсчитывает число независимых контуров Nk = в- в_i -у+1=5–1–3+1=2, и показываем их на схеме дугой.

2. По первому закону Кирхгофа для независимых узлов составляем два уравнения (например, для узлов a и b)

I₁+I₂–I₃=0, I₃+J–I₄=0.

При этом ток источника тока считаем, как известный ток в соответствующей ветви.

По второму закону составляем для независимых контуров 2 уравнения.

Для левого контура I₁R₁–R₂I₂=E₁+E₂.

 Для центрального контура I₂R₂+I₃R₃+I₄R₄=–E₂.

 При этом слагаемые берем со знаком плюс, если направление тока или ЭДС совпадает с направлением обхода контура, и со знаком минус, если не совпадает. Контур с источником тока J образовывать нельзя, так как в него должно быть включено бесконечно большое сопротивление источника тока J.

3. Решая полученную систему уравнений: I₁+I₂–I₃=0, I₃+4–I₄=0, 6I₁–4I₂=110+64, 4I₂+3I₃+I₄= =–64, находим I₁=17,5 А; I₂=–17,25 А; I₃=0,25 А; I₄= 4,25 А.

4. Определяем суммарную мощность, выделяющуюся в сопротивлениях:

.

Определяем суммарную мощность, генерируемую источниками:

.

Перед слагаемыми E₂I₂ поставлен знак минус потому, что ток I₂ и ЭДС E₂ направлены встречно. При подстановке величины тока I₂=–17,25 А получается положительная мощность, генерируемая вторым источником .

Поскольку суммарные мощности, генерируемые источниками, оказались равны суммарным мощностям потребителей, т.е. P_u=P=3046 Вт, то токи в ветвях определены правильно.

Метод контурных токов

• В составе анализируемой схемы выбирают независимые контуры и предполагают, что в каждом из контуров течет свой контурный ток. Для каждого из независимых контуров составляют уравнение по 2-му закону Кирхгофа относительно контурных токов и их решают. Токи в ветвях находят как алгебраическую сумму контурных токов, протекающих по данной ветви.

• Предварительно: Все источники сигналов, представленные источниками тока, заменяют источниками ЭДС (рис. 4.29) .

• 1) Топологический анализ схемы.

• а) Ветви нумеруют токами, показывают их положительное направление и определяют число ветвей b.

• б) Определяют число узлов у.

• в) Подсчитывают число независимых контуров Nk = b – y + 1.

Каждый независимый контур обозначают дугой со стрелкой, присваивают свой контурный ток: Ik1; Ik2; IkNk,..

• 2) По второму закону Кирхгофа относительно контурных токов записывают уравнения, которые после приведения подобных членов образуют систему линейных уравнений N = Nk порядка:

• где  Iki – контурный ток i-го контура;

• Zii – собственное сопротивление i-го контура и равно сумме сопротивлений, входящих в i-й контур;

•  Zji – сопротивление смежных ветвей между i-м и j-м контурами. Оно берутся со знаком «+», если контурные токи направлены одинаково, и со знаком «–», если они направлены встречно;

• Eki – контурная ЭДС i-ого контура. Она равна алгебраической сумме ЭДС, входящих в i-й контур. Контурная ЭДС Eki берется со знаком «+», когда направление источника ЭДС и направление тока совпадают, и со знаком «–», если они направлены встречно.

• 3) По правилу Крамера находят контурные токи Iki=.

Примечание. Невырожденными источниками тока (рис.1а) называют такие источники тока параллельно, которым включена ветвь, учитывающая их внутреннее сопротивление.

Эти схемы эквивалентны, если:

а) E = J^.Z_i;

б) Z₂ = Z₁.

Источники тока, параллельно которым нет ветви учитывающей их внутреннее сопротивление, называются вырожденными (рис.1б).

На рис.1б приведен пример вырожденного источника тока и правило его эквивалентного преобразования.

Пример 3.1. Для схемы рис. 3.1 составить систему уравнений по методу контурных токов и не решая системы, в общем виде, определить токи во всех ветвях.

Исходная схема (рис.3.1) с токами ветвей, узлами и контурами показана на рис. 3.2. Она содержит: пять ветвей с токами I₁, I₂, I₃,  I₄, J; три узла, следовательно, число независимых контуров равно N_k = в-у+1= 5-3+1=3. Однако в состав схемы входит один источник тока, а потому ток в одном из контуров известен равен току источника тока, а следовательно, число независимых контуров надо рассчитывать из соотношения N_k = в-у+1- N_ит = 5-3+1-1=2.

Решение.

0. Поскольку в состав исходной схемы входит невырожденный источник тока, то его вместе с  R₄, эквивалентно заменяют источником ЭДС.

Для этого схему на рис.3.1. преобразуем к схеме на рис. 3.3.

Эти схемы эквивалентны, если:

а) R₄=R₄; б) Еj=J/R₄.

1. Проведем топологический анализ схемы преобразованной схемы (рис. 3.3):

1.1. число ветвей в = 3 с токами (I₁, I₂, I₃), их положительное направление показано стрелками;

1.2. число узлов (0 и 1) у = 2;

1.3. подсчитаем число независимых контуров: N_k = в-у+1=3-2+1=2.

2. Запишем два уравнения по второму закону Кирхгофа для независимых контуров:

где:  Z₁₁=(R₁+R₂);  Z₁₂=Z₂₁= - R₂;       Z₂₂=(R₂+R₃+R₄); E₁₁=E; E₂₂= -JR₄.

3. Решая систему контурных уравнений, определяют контурные токи: I_к1, I_к2.

4.  Токи в ветвях, из анализа схемы на рис.3.2, находят как алгебраическую сумму контурных токов, протекающих через данную ветвь:

 I₁= I_к1 ; I₂ = I_к1- I_к2; I₃ =- I_к2; I₄ = I₃+J; I₅ = J.                       

Пример 3.2. Используя метод контурных токов, составить уравнения электрического равновесия цепи, схема которой приведена на рис. 3.4.

Исходная схема на рис. 3.4. содержит: шесть ветвей с токами I₁, I₂, I₃, I₄, I₅ J; число узлов – в=4, число независимых контуров- N_k = в-у+1= 6-4+1=3. Все они показаны на рис. 3.5.

Однако в состав схемы входит один вырожденный источник тока, а потому ток в одном из контуров равен ему, а следовательно число независимых контуров надо рассчитывать из соотношения N_k = в-у+1- N_ит = 6-3+1-1=2.

 0. Поскольку в состав исходной схемы входит вырожденный источник тока, то его вместе с R₄ и R₅, эквивалентно заменяют невырожденными источниками тока (рис. 3.6), а затем переходит к схеме с источникам ЭДС (рис.3.7).

Схемы на рис.3.5 и рис.3.6, рис3.7 эквивалентны, если

а) R₆=R₄ и Е₂= JR₄;

б) R₇=R₅ и  Е₃= JR₅;.

1. Проведем топологический анализ схемы (рис. 3.7) для определения количества независимых контуров n.

1.1. Количество ветвей в = 3,

1.2. число узлов у = 2,

1.3. Число независимых контуров N_k = в-у+1= 3-2+1= 2.

2. Выберем произвольно два независимых контура с токами I_к1 и   I_к2 и направление их обхода как показано на рис. 3.7.

2. Запишем два уравнения по второму закону Кирхгофа для независимых контуров:

где:  Z₁₁=(R₁+R₂+R₄);  Z₁₂=Z₂₁= - R₂; Z₂₂=(R₂+R₃+R₅); E₁₁=E+E₂; E₂₂ = E₃.

Запишем уравнения (3.6) в матричной форме

.

3. Решая систему контурных уравнений, определяют контурные токи: I_к1, I_к2.

4.  Токи в ветвях находят как алгебраическую сумму контурных токов, протекающих через данную ветвь исходя из анализа схемы на рис. 3.6.

 I₁= I_к1 ; I₂ = I_к1- I_к2; I₃ =- I_к2; i₄ = (I_к1 – J) и i₅ = (J – I_к2)

Пример 3.3. Определить токи методом контурных токов в ветвях цепи, схема которой изображена на рис. 3.8.

R1= R3 = 10 Ом; R2 = R4 = 20 Ом; R5 = 30 Ом; J = 1 A; E = 10 В.

Решение.

1. Схема цепи содержит

n₁₁ = p – g– N_ит + 1 = 3 независимых контура и один дополнительный зависимый (см. рис. 3.5).

2. Пользуясь методикой формирования системы уравнений по схеме цепи, изложенной в примере 3.1, запишем уравнения для трех контуров в матричной форме

.

3. После подстановки численных значений параметров и решения уравнений, получим значения контурных токов

I₁₁ = 0.163 А, I₂₂ = –0.465 А, I₃₃ = –0.023 А.

4. Определим токи в ветвях:

i₁ = I₁₁ = 0.163 А; i₂ = I₁₁ –I₂₂ = 0.628 А; i₃ = I₂₂ –J = 0.535 А;

i₄ = I₃₃ –I₂₂ = 0.442 А; i₅ = I₁₁ –I₃₃ = 0.186 А; i₆ = I₃₃ = –0.023 А.

5. Проверим правильность решения задачи, используя закон Кирхгофа для второго узла: –i₂ + i₄ + i₅ = 0, – 0.628 + 0.442 + 0.186 = 0. Задача решена правильно.

Определение токов в этой задаче потребовало решения системы из трех уравнений. Этот же пример рассматривался при изучении метода токов ветвей, по которому пришлось решать систему из шести уравнений, а ее решать сложнее. Этот пример показывает преимущество метода контурных токов перед методом токов ветвей.

3. РАСЧЕТ ЛИНЕЙНЫХ ЦЕПЕЙ МЕТОДОМ УЗЛОВЫХ

НАПРЯЖЕНИЙ

Метод узловых напряжений основан на применении первого закона Кирхгофа. За искомые величины принимаются “узловые напряжения”,.

Потенциал базисного узла принимают равным нулю φ₀ = 0, поэтому узловое напряжениеk-того узла численно равно потенциалу k–того узла: U_kk = φ_k. Напряжение между двумя узлами можно выразить через узловые напряжения: U_kn = U_kk – U_nn.

Сокращенная система уравнений электрического равновесия цепи, составленная относительно неизвестных узловых напряжений, называется системой узловых уравнений цепи.

Токи в ветвях определяют по найденным в результате решения уравнений узловым напряжениям по закону Ома: i_k = U_kk·g, где g – проводимость ветви, через которую течет ток i_k.

Порядок расчета цепи методом узловых напряжений следующий:

До начала расчетов в исходной схеме проводят топологический анализ:

Рис.3.9

1. во всех ветвях показывают токи I₁…..I_в и стрелками указывают их положительное направление.

Решение.

Предварительно. Все источники ЭДС заменяют на источники тока. Для этого:

а. Все невырожденные источники ЭДС (это источники ЭДС последовательно с которыми отсутствует сопротивление), эквивалентно заменяют на источники тока согласно рис.3.9. Схемы эквивалентны, если параметры элементов связаны соотношениями:

1) I=E/ Z_i2, 2) Z_i1=Z_i2

Рис.3.10

б) все вырожденные источники ЭДС могут быть устранены с помощью преобразований схемы, которые называются переносом источников.

Правила эквивалентного преобразования вырожденного источника ЭДС приведены на рис. 3.10. Схема на рис.3.10а эквивалентна схемам на рис.3.10б и рис. 3.10в.

1. проводят топологический анализ преобразованной схемы:

1.1. обозначают токи во всех ветвях (I₁, I₂, …,Iв), произвольно выбирают их положительное направление , показывают на схеме стрелками и определяют в;

1.2. показывают, нумеруют все узлы и подсчитывают общее число узлов у;

Нумерацию узлов начинают с номера ноль. Потенциал нулевого (базисного) узла считают равным нулю (φ₀=0). Число независимых узлов  равно N_у=у-1. За независимые узлы принимают с ненулевым номером.

Если в схеме имеются N_ин вырожденные источники ЭДС (без элементов, учитывающих их внешнее сопротивление) то узлы, между которыми они включены, оказываются зависимыми и число независимых узлов подсчитывают из соотношения N_у=у-1- N_ин.

2. По 1-му закону Кирхгофа для независимых узлов схемы составляют уравнения и решают их относительно потенциалов узлов. После приведения подобных членов сводятся к системе линейных уравнений порядка n = N_у :

где: φ_i,– потенциалы независимых узлов схемы;

Y_ii-собственная узловая проводимость. Она равна сумме проводимостей всех ветвей, сходящихся в i-том узле, все проводимости берутся со знаком «+».

Y_ij - межузловая проводимость всех ветвей между i-тым и j-тым узлами. Проводимости всех узлов берется со знаком «-».. Если в цепи отсутствуют ветви, включенные между i-м и j-м узлами, то Y_ij = 0.

I_ii - узловой ток i-го узлаJ_ii. Он равен алгебраической сумме токов источников тока, включенных в данный узел, включая ток, вызванный источником напряжения в ветви, также включенный в i-ый узел. Втекающие токи записываются в эту сумму со знаком «+», а вытекающие – со знаком «-».

Система уравнений может быть записана в матричной форме:

                [Y]∙[U] = [J],                                            (4.5)

где

[Y]=  - матрица узловых проводимостей цепи;

[U]= ;       [J]=  –матрицы-столбцы узловых напряжений и узловых токов.

Для линейной цепи, состоящей из R, L, C и независимых источников электрической энергии матрица проводимостей всегда квадратная и симметричная относительно главной диагонали, т.е. Y_ij = Y_ji

3) Потенциалы узлов находят по формуле Крамера.

.

4) Токи в ветвях находят по закону Ома

I=(j₁-j₂)/Z.

Пример 4.1. Для схемы рис.4.1 составить систему узловых уравнений по первому закону Кирхгофа, в которой за независимые переменные принять узловые напряжения и в общем виде определить токи во всех ветвях.

Вырожденных источников ЭДС нет. Схема цепи содержит три узла 0, 1 и 2 (см. рис. 4.2).

Для всех ветвей покажем токи и выберем их положительные направления, как показано на рис. 4.2.

Решение.

0. Поскольку в состав исходной схемы входит невырожденный источник ЭДС, то его вместе с R₁, эквивалентно заменяют источником тока.

Для этого схему на рис.4.1. преобразуем к схеме на рис. 4.3.

Эти схемы эквивалентны, если

а) R₄=R₄; б) Еj=J/R₄.

1. Топологический анализ схемы на рис.4.3.

1.1. Для всех ветвей покажем токи и выберем их положительные направления, как показано на рис. 4.3.

1.2. Выберем произвольно два независимых узла 1 и 2 и положительные направления токов в ветвях, как показано на рис.4.3.

Будем рассматривать два независимых узловых напряжений U₁₁ = φ₁ – φ₀ = φ₁ и U₂₂ = φ₂ – φ₀ = φ₂, положительные направления которых показаны на рис 4.2. Напряжение между первым и вторым узлами можно выразить через узловые напряжения U₁₂ = U₁₁ – U₂₂.

2. Для независимых узлов по первому закону Кирхгофа относительно потенциалов узлов (узловых напряжений) составим систему уравнений:

напряжений

U₁₁·(g₁ + g₂ + g₃) – U₂₂ ·g₃ = E·g₁;

–U₁₁·g₃ + U₂₂·(g₃ + g₄) = J.                  

где Y₁₁=g₁+g₂+g₃, Y₁₂=Y₂₁=-g_3, Y₂₂=g₂+g_3.

3. Известным методом находим потенциалы узлов φ₁ и φ₂

4. По закону Ома находим токи во всех ветвях:

I₁= (φ₁- E)/R₁, I₂= (φ₁)/R_2, I₃= (φ₁- φ₂ )/R_3, I₄= (φ₂)/R₄

Пример 4.2. Используя метод узловых напряжений, составить уравнения электрического равновесия цепи, схема которой приведена на рис.4.4а.

Рис.4.4.

Решение. Будем считать, что точка соединения источника E₁ с сопротивлением R₁ образуют входной узел цепи. Схема содержит в = 5 узлов и два независимых источников напряжения. Каждый из них включен между узлами без сопротивления. Примем один узел, объединяющий полюса источников, за базисный, а остальные узлы пронумеруем, как показано на рис.4.4б.

0. Все источники ЭДС эквивалентно преобразуем в источники тока.

Источник ЭДС Е2 (рис.4.4б) вырожденный. Преобразуем его в невырожденные по правилу присоединения, и получим схему приведенную на рис. 4.4в.

В схеме на рис.4.4.в три невырожденных источника ЭДС. Преобразуем их в источники тока и получим схему приведенную на рис. 4.4г.

1. В этой схеме три узла, два из которых (2 и 3) независимые.

2. По методу узловых потенциалов составим систему второго порядка

где: Y₂₂= g₁ + g₂ + g₃;  Y₂₃= Y₃₂= - g₂;Y₂₂   I₂₂= E₁·g₁  - E₂·g₃ ; I₃₃=- E₂·g₅

Перепишем эту систему в матричной форме

3. По закону Ома найдем токи во всех ветвях:

I₁= (φ₂)/R₁, I₂= (φ₂- φ₃)/R_2, I₃= (φ₂- Е₂)/R_3, I₄= (φ₂- Е₂)/R₄ I₅= (φ₃)/R₅

Пример 4.3. Определить токи методом узловых напряжений в ветвях цепи, схема которой изображена на рис.4.5.

R1 = R3 = 10 Ом; R2 = R4 = 20 Ом; R5 = 30 Ом; J = 1 A; E = 10 В.

Решение.

1. Пронумеруем узлы, выбрав один из них за базисный (см. рис.4.5).

2. К первому узлу подключен источник напряжения, поэтому U₁₁ = E.

3. Запишем уравнения для второго и третьего узлов:

–Eg₁ + U₂₂(g₁+g₃+g₄) – U₃₃g₃ = 0,

–Eg₂ – U₂₂g₃ + U₃₃(g₂+g₃+g₅) = –J.

4. Преобразуем и запишем уравнения в окончательном виде

.

5. После подстановки численных значений параметров и решения уравнений, получим

U₂₂ = 3.7209 В, U₃₃ = –0.6977 В.

6. Определим токи в ветвях:

i₂ = (E –U₂₂)g₁ = 0.628 А; i₃ = (E –U₃₃)g₂ = 0.535 А;

i₄ = (U₂₂ –U₃₃)g₃ = 0.442 А; i₅ = U₂₂g₄ = 0.186 А; i₆ = U₃₃g₅ = –0.023 А.

i₁ = i₂ + I₃ – J = 0.163 А (по первому закону Кирхгофа для первого узла).

7. Проверим правильность решения задачи, используя закон Кирхгофа для второго узла: –i₂ + i₄ + i₅ = 0, – 0.628 + 0.442 + 0.186 = 0. Задача решена правильно.

Определение токов в этой задаче потребовало решения системы из двух уравнений. Этот же пример рассматривался при изучении методов токов ветвей и контурных токов.

Сравнивая три метода расчета по сложности решения задач по определению токов ветвей, контурных токов и узловых напряжений, можно придти к следующему выводу:

при анализе сложной цепи методы контурных токов и узловых напряжений позволяют уменьшить число уравнений по сравнению с методом токов ветвей. Выбор метода контурных токов или узловых напряжений определяется наименьшим количеством независимых контуров или узлов.

Следовательно, выбирать метод нужно после проведения топологического анализа схемы по наименьшему количеству независимых контуров или узлов.

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ ЗАДАНИЙ по теме  "цепи переменного тока"