Условия равновесия системы сил

Для равновесия произвольной системы сил необходимо и                        достаточно, чтобы сумма проекций всех сил на каждую из                        трёх взаимно перпендикулярных осей координат равнялась                              нулю и сумма моментов всех сил системы относительно                        каждой из этих осей равнялась нулю.

Эквивалентность систем сил

Теорема.

Две системы сил, приложенные к свободному твёрдому телу, эквивалентны тогда и только тогда, когда их главные векторы и главные моменты относительно одного и того же произвольно выбранного центра равны между собой.

Доказательство.  Пусть две системы сил эквивалентны:  Покажем, что главные векторы и главные моменты этих систем сил равны между собой. Используя принцип независимости действия сил, выберем вспомогательную систему сил  такую, что  и, следовательно, . При этом действие заданных систем сил на тело (в составе новых систем сил) не изменяется. Условия равновесия для расширенных систем сил имеют вид:

Сравнивая равенства  и , получаем:

или           

  Таким образом, доказана необходимость условий   для эквивалентности систем сил.

  Докажем достаточность. Пусть условия  выполнены. Покажем, что системы сил при этом эквивалентны. Рассмотрим вспомогательную систему сил , для которой справедливы равенства , и, следовательно, справедливы равенства . На основании теоремы об условиях равновесия системы сил отсюда получаем

 .

  На основании аксиомы 2 к любой системе сил можно добавить или от неё отнять уравновешенную систему сил. Отсюда:

Теорема Вариньона

Из теоремы об эквивалентности вытекает очень важное следствие, которое в литературе обычно формулируют как теорему Вариньона:

Если система сил имеет равнодействующую, то момент равнодействующей относительно произвольно выбранной точки равен сумме моментов всех сил системы относительно этой точки.

Основные свойства пары сил

  В соответствии с теоремой об эквивалентности систем сил,  две пары сил эквивалентны тогда и только тогда, когда равны их моменты. Отсюда следует, что, не изменяя действия пары сил на абсолютно твёрдое тело, можно производить следующие преобразования пар сил (Рис. 2.4 – 2.6):

  1. переносить и поворачивать пару сил в плоскости её действия;

  2. переносить пару сил в любую плоскость, параллельную плоскости

      действия пары сил;

  3. изменять плечо и модули сил, образующих пару, так чтобы модуль

      момента пары оставался неизменным.

Рис. 2.4		Рис. 2.5		Рис. 2.6

  Доказанная ранее теорема о сложении пар оказывается справедливой при произвольном расположении пар сил в пространстве, поскольку в случае параллельности плоскостей действия, пары сил можно перенести в одну плоскость.

Рис. 2.7

Таким образом,