Студопедия КАТЕГОРИИ: АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция |
Условия равновесия системы сил
Второй основной задачей статики является определение условий, при которых заданная система сил эквивалентна нулю (уравновешена).
Теорема. Система сил эквивалентна нулю (уравновешена) тогда и только тогда, когда её главный вектор и главный момент относительно произвольной точки равны нулю. Доказательство. Приведём заданную систему сил к произвольно выбранному центру . В соответствии с теоремой о приведении системы сил к одному центру, исходная система сил эквивалентна одной силе , приложенной в выбранном центре , и одной паре сил , момент которой , т.е.
причём
Силы и заменим равнодействующей (Рис. 2.2). Таким образом, любую систему сил можно заменить эквивалентной системой двух сил. При этом
(a) (b) Аксиома 2 устанавливает необходимые и достаточные условия равновесия системы двух сил, приложенных к абсолютно твёрдому телу – силы должны быть равными по модулю, противоположными по направлению и, кроме того, должны иметь общую линию действия (Рис. 2.3), т.е.
Сравнивая последние равенства с равенствами (a) и (b), находим, что для равновесия произвольной системы сил необходимо и достаточно, чтобы геометрическая сумма всех сил системы (главный вектор) равнялась нулю и сумма моментов всех сил системы относительно произвольно выбранной точки (главный момент) равнялась нулю:
Принимая центр приведения за начало декартовой системы координат, получаем в проекциях на координатные оси:
Таким образом, Для равновесия произвольной системы сил необходимо и достаточно, чтобы сумма проекций всех сил на каждую из трёх взаимно перпендикулярных осей координат равнялась нулю и сумма моментов всех сил системы относительно каждой из этих осей равнялась нулю. Эквивалентность систем сил
Теорема. Две системы сил, приложенные к свободному твёрдому телу, эквивалентны тогда и только тогда, когда их главные векторы и главные моменты относительно одного и того же произвольно выбранного центра равны между собой.
Доказательство. Пусть две системы сил эквивалентны: Покажем, что главные векторы и главные моменты этих систем сил равны между собой. Используя принцип независимости действия сил, выберем вспомогательную систему сил такую, что и, следовательно, . При этом действие заданных систем сил на тело (в составе новых систем сил) не изменяется. Условия равновесия для расширенных систем сил имеют вид:
Сравнивая равенства и , получаем:
или
Таким образом, доказана необходимость условий для эквивалентности систем сил. Докажем достаточность. Пусть условия выполнены. Покажем, что системы сил при этом эквивалентны. Рассмотрим вспомогательную систему сил , для которой справедливы равенства , и, следовательно, справедливы равенства . На основании теоремы об условиях равновесия системы сил отсюда получаем
.
На основании аксиомы 2 к любой системе сил можно добавить или от неё отнять уравновешенную систему сил. Отсюда:
Теорема Вариньона Из теоремы об эквивалентности вытекает очень важное следствие, которое в литературе обычно формулируют как теорему Вариньона:
Если система сил имеет равнодействующую, то момент равнодействующей относительно произвольно выбранной точки равен сумме моментов всех сил системы относительно этой точки.
Основные свойства пары сил
В соответствии с теоремой об эквивалентности систем сил, две пары сил эквивалентны тогда и только тогда, когда равны их моменты. Отсюда следует, что, не изменяя действия пары сил на абсолютно твёрдое тело, можно производить следующие преобразования пар сил (Рис. 2.4 – 2.6):
1. переносить и поворачивать пару сил в плоскости её действия; 2. переносить пару сил в любую плоскость, параллельную плоскости действия пары сил; 3. изменять плечо и модули сил, образующих пару, так чтобы модуль момента пары оставался неизменным.
Доказанная ранее теорема о сложении пар оказывается справедливой при произвольном расположении пар сил в пространстве, поскольку в случае параллельности плоскостей действия, пары сил можно перенести в одну плоскость.
Таким образом, |
|||||||||||||||||||||||||||||
Последнее изменение этой страницы: 2018-04-12; просмотров: 593. stydopedya.ru не претендует на авторское право материалов, которые вылажены, но предоставляет бесплатный доступ к ним. В случае нарушения авторского права или персональных данных напишите сюда... |