Взаимное положение прямой, плоскости и двух плоскостей

Прямая может:

1. принадлежать плоскости (этот случай рассмотрен выше),

2. быть параллельна плоскости,

3. пересекать плоскость.

Если прямая параллельна плоскости, то она параллельна хотя бы одной прямой, лежащей в плоскости (рис. 55). Прямая m параллельна плоскости ABC,  так как m // AB (m' //A'B', m″ // A″B″).

Пересечение прямой и плоскости частного положения

При рассмотрении пересечения прямой и плоскости, остановимся, сначала, на случае пересечения прямой с плоскостью частного положения (рис. 56, 57).

В данном случае прямая m пересекает горизонтально-проецирующую плоскость. То, что плоскость P – горизонтально-проецирующая, следует из того, что фронтальный след плоскости P_V перпендикулярен оси X (P_V ┴ OX). Из свойств горизонтально-проецирующей плоскости, а именно из собирательного свойства горизонтального следа горизонтально-проецирующей плоскости, следует, что в каком бы месте прямая не пересекала плоскость, горизонтальная проекция точки пересечения обязательно будет принадлежать горизонтальному следу плоскости (K'  P_H).

При решении аналогичной задачи в случае задания плоскости не следами, кроме определения точки пересечения, следует показать видимость. Видимость определяется с помощью конкурирующих точек, которые принадлежат заданной прямой и одной из прямых, принадлежащих плоскости (рис.58). В данном случае, плоскость ABC – фронтально-проецирующая. Это следует из того, что фронтальные проекции точек собрались вдоль прямой линии. А, так как фронтальный след такой плоскости обладает собирательным свойством, фронтальная проекция точки пересечения K″, также будет располагаться на этой прямой. Сторона BC скрещивается с прямой m и точки 1 и 2 являются конкурирующими. Так как высота точки 1, принадлежащей стороне BC, больше, чем высота точки 2, принадлежащей прямой m, то в данном месте видима сторона BC, и, следовательно, треугольник ABC.

Пересечение плоскостей, одна из которых плоскость частного положения

Для построения линии пересечения плоскостей требуется определить две точки общие для обеих плоскостей. В этом случае следует:

1. рассмотреть проецирующую плоскость, как плоскость, а другую, как совокупность прямых,

2. найти точку пересечения одной из прямых с плоскостью,

3. операцию повторить,

4. соединить полученные точки, общие для обеих плоскостей прямой линией,

5. определить видимость.

Примеры решения этой задачи представлены на рис. 59 ÷ 61.

Рис. 59

МЕТОДЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ПРОЕКЦИЙ

Методы преобразования проекций – это способы решения сложных задач путем приведения их объектов к удобному (частному) положению.

Существуют два основных типа методов преобразования проекций:

1. метод замены плоскостей проекций,

2. метод вращения.

 При использовании второго метода, вращение может быть осуществлено:

1. вокруг осей перпендикулярных плоскостям проекций (иное название этого метода – метод вращения вокруг проецирующих прямых). Разновидностью этого метода является метод плоскопараллельного перемещения,

2. вокруг линий уровня. Разновидностью этого метода является метод вращения вокруг одного из следов плоскости (иное название – метод совмещения).