Взаимное расположение прямых в пространстве

Возможны четыре различных случая расположения двух прямых в пространстве:

– прямые скрещивающиеся, т.е. не лежат в одной плоскости;

– прямые пересекаются, т.е. лежат в одной плоскости и имеют одну общую точку;

– прямые параллельные, т.е. лежат в одной плоскости и не пересекаются;

– прямые совпадают.

Получим признаки этих случаев взаимного расположения прямых, заданных каноническими уравнениями

где — точки, принадлежащие прямым L₁ и L₂ соответственно, a — направляющие векторыОбозначим через вектор, соединяющий заданные точки.
Перечисленным выше случаям взаимного расположения прямыхL₁ и L₂ соответствуют следующие признаки:

– прямыеL₁ и L₂ скрещивающиеся<=>векторы не компланарны;

– прямыеL₁ и L₂ пересекаются<=> векторы компланарны, а векторы не коллинеарны;

– прямыеL₁ и L₂параллельные<=> векторы коллинеарны, а векторы неколлинеарны;

– прямые L₁ и L₂ совпадают<=> векторы коллинеарны.

Взаимное расположение прямой и плоскости.

Бюджетная линия

Если отложить по оси абсцисс кол-во ед-иц 1-го товара,кот.можно купить на имеющиеся ср-ва,а на оси ординат то же самое для другого товара,то прямая линия,соединяющая эти точки,покажет любую комбинацию этих двух товаров,кот. Можно купить на данную сумму денег.

Если сумма ед-иц увел-ся(а товары те же),то прямая будет ││-на данной,но дальше от начала,если сумма денег меньше-то ближе к началу и ││-на.

Обознач:q₁,q₂-кол-во товаров 1и 2 видов.

p₁,p₂-цены товаров.

Тогда общий расход:

P=p₁q₁+p₂q₂

Общие св-ва бюджетной линии:

1.изображается ввиде прямой

2.имеет отриц-ый угловой коэф-нт

3.при различных расходуемых суммах бюджетные линии ││-ны

Параметрические уравнения прямой в пространстве

Положение прямой в пространстве вполне определяется заданием какой-либо её фиксированной точкиМ₁ и вектора , параллельного этой прямой.

Вектор , параллельный прямой, называется направляющим вектором этой прямой.

Итак, пусть прямая l проходит через точку М₁(x₁, y₁, z₁), лежащую на прямой параллельно вектору .

Рассмотрим произвольную точку М(x,y,z) на прямой. Из рисунка видно, что .

Векторы и коллинеарны, поэтому найдётся такое число t, что , где множитель t может принимать любое числовое значение в зависимости от положения точки M на прямой. Множитель t называется параметром. Обозначив радиус-векторы точек М₁ иМ соответственно через и , получаем . Это уравнение называется векторным уравнением прямой. Оно показывает, что каждому значению параметра t соответствует радиус-вектор некоторой точки М, лежащей на прямой.

Запишем это уравнение в координатной форме. Заметим, что , и отсюда

Полученные уравнения называются параметрическими уравнениями прямой.

При изменении параметра t изменяются координаты x, y и z и точка М перемещается по прямой.

Задача нахождения точки пересечения прямой и плоскости

Если заданы канонические уравнения прямой и общее уравнение плоскости, то для нахождения точки пересечения необходимо решить систему их уравнений

Приравниваем каждое из отношений канонических уравнений параметру t и подставляем  в уравнение плоскости:

Если точка пересечения существует, т.е. то

находим t:

а затем из — координаты точки пересечения.

1.

1.