Системы линейных алгебраических уравнений

Рассмотрим СЛУ, у которой m уравнений и n неизвестных

-две системы линейных уравнений равносильны, если их множество решений совпадает

-решением СЛУ является совокупность чисел от 1 до n, которое обращает каждое уравнение в тождество

-СЛУ совместна, если имеет хотя бы 1 решение(опредеоенная;если больше1-го реш-неопредеенная), иначе несовместна

Решение СЛУ с помощью обратной матрицы.

Запишем СЛУ в матричном виде:АХ=В(где А-матрица системы,сост.изкоэф.,стоящих пред неизвестными;В-матрица- столбец,состоящая из элементов,стоящи в правой части СЛАУ;Х-матрица-столбец,сотст-ая из неизвестных Х1,Х2,Х3)

Для решения СЛАУ мат.мет:

1.выпишем матрицу системыА

2.найдем опр-ль

а)если опр-ль =0,то решений нет

б)если опр-ль≠0,то:

3.находим обратную матрицу Аˉ¹ к матрице системы

4.и т.к. справделиво АХ=В <=>Аˉ¹=АХ=Аˉ¹В<=>ЕХ=Аˉ¹В<=>Х=Аˉ¹В,то мы нашли матрицу-столбец Х,а след-но и неизвестные

ПРИМЕР:

Решение: Запишем систему в матричной форме:

,где

если бы в уравнениях отсутствовали некоторые переменные, то на соответствующих местах в матрице А нужно было бы поставить нули.

Обратную матрицу найдем по формуле:

Согласно формуле нужно найти обратную матрицуАˉ¹ и выполнить матричное умножение Аˉ¹b .

Обратную матрицу найдем по формуле:

,где -транспонированная матрица алгебраических дополнений соответствующих элементов матрицы А .

Сначала разбираемся с определителем:

Теперь нужно вычислить 9 миноров и записать их в матрицу миноров

Т.о:

-матрица миноров соответствующих элементов матрицы А.

-матрица алг.доп.

-транспон.маталг.доп.

Теперь записываем обратную матрицу:

А вот внести минус в матрицу в данном случае очень даже нужно, это, наоборот – упростит дальнейшие вычисления.

Осталось провести матричное умножение

Решение СЛАУ по фор-амКрамера.

Метод джордна-гауса

Решить методом Жордана-Гаусса систему уравнений:

Решение

Составим сначала соответствующую таблицу:

Составим сначала соответствующую таблицу:

1. Разрешающим элементом изберем коэффициент при х₃ в первом уравнении. Он единственный равняется единице (в рамке).
2. Разрешающая строка (первый) и разрешающий столбец сразу записываем в таблицу.

3. Заполняем вторую строку таблицы, используя формулу.
Начнем с элемента b₂₁. В предыдущей таблице находим элементы, которые стоят на пересечении первой и второй строк с первым и третьим столбцами и образовываем из них определитель:.
Напомним, что произведение разрешающего элемента на тот, что стоит на его диагонали, всегда берется со знаком «+». Аналогично для нахождения b₂₂ имеем определитель; для ; .
Дальше делаем проверку. Находим по аналогичному правилу элемент, который должны стоять во второй строке и в столбце ∑. Это будет . Записываем это значение в столбец contr.
Вычисляем сумму элементов, которые стоят во второй строке к столбцу ∑: 0+0+1+1=2. Добытая сумма совпадает с соответствующим элементом столбца contr, поэтому коэффициенты второй строки таблицы найдено правильно.
4. Аналогично предыдущему находим элементы третьей строки:

Получив таким образом коэффициенты b_kl, запишем их в таблицу ниже от первой горизонтальной черточки. На пересечении второй строки и четвертого столбца этой таблицы стоит 1. Выберем ее за новый разрешающий элемент. Выполнив процедуру нахождения , получим окончательную таблицу коэффициентов

1. Разрешающим элементом изберем коэффициент при х3 в первом уравнении. Он единственный равняется единице (в рамке).

2. Разрешающая строка (первый) и разрешающий столбец сразу записываем в таблицу.

3. Заполняем вторую строку таблицы, используя формулу .

Начнем с элемента b21. В предыдущей таблице находим элементы, которые стоят на пересечении первой и второй строк с первым и третьим столбцами и образовываем из них определитель: .

Напомним, что произведение разрешающего элемента на тот, что стоит на его диагонали, всегда берется со знаком «+». Аналогично для нахождения b22 имеем определитель ; для ; .

Дальше делаем проверку. Находим по аналогичному правилу элемент, который должны стоять во второй строке и в столбце ∑. Это будет . Записываем это значение в столбец contr.

Вычисляем сумму элементов, которые стоят во второй строке к столбцу ∑: 0+0+1+1=2. Добытая сумма совпадает с соответствующим элементом столбца contr, поэтому коэффициенты второй строки таблицы найдено правильно.

5. Аналогично предыдущему находим элементы третьей строки:

Получив таким образом коэффициенты bkl, запишем их в таблицу ниже от первой горизонтальной черточки. На пересечении второй строки и четвертого столбца этой таблицы стоит 1. Выберем ее за новый разрешающий элемент. Выполнив процедуру нахождения , получим окончательную таблицу коэффициентов