Смешанное произведение и его свойства.

Определение. Смешанным произведением векторов а, в и с называется число, равное скалярному произведению вектораа на вектор, равный векторному произведению векторов в и с.

Обозначается а*в*с или (а, в,с).

Свойства смешанного произведения

1. Смешанное произведение не меняется при циклической перестановке его сомножителей, т. е. (а х b )•с=(b х с)•а=(с ха)•b .

Действительно, в этом случае не изменяется ни объем параллелепипеда, ни ориентация его ребер

2. Смешанное произведение не меняется при перемене местами знаков вкторного и скалярного умножения, т. е. (ахb)•с=а*(bx с).

Действительно, (ахb )•с=±V и а•(b хс)=(b хс)•а=±V . Знак в правой части этих равенств берем один и тот же, так как тройки векторов а , b , с и b , с , а — одной ориентации.

Следовательно, (a хb )•с=a (b хс). Это позволяет записывать смешанное произведение векторов (а х b )с в виде abc без знаков векторного, скалярного умножения.

3. Смешанное произведение меняет свой знак при перемене мест любых вух векторов-сомножителей, т. е. abc =-acb , abc=-bac , abc =-cba .

Действительно, такая перестановка равносильна перестановке сомножителей в векторном произведении, меняющей у произведения знак.

4.Смешанное произведение ненулевых векторов а, b и сравно нулю огда и только тогда, когда они компланарны.

Если abc =0 , то а, b и с— компланарны.

Допустим, что это не так. Можно было бы построить параллелепипед с объемом V¹ 0. Но так как abc =±V , то получили бы, что abc¹0 . Это противоречит условию: abc =0.

Обратно, пусть векторы а, b , с — компланарны. Тогда векторd =ахb будет перпендикулярен плоскости, в которой лежат векторы а, b ,с, и следовательно, d ^с. Поэтому d •с=0, т. е.abc =0.

Уравнение прямой на плоскости (условие параллельности, перпендикулярности, угол между прямыми).

общее уравнение прямой на плоскости:Ах+Ву+С=0,где С=-Ах₀-Bу₀

В зависимости от значений постоянных А,В и С возможны следующие частные случаи:

• C = 0, А ≠0, В ≠ 0 – прямая проходит через начало координат

• А = 0, В ≠0, С ≠0 { By + C = 0}- прямая параллельна оси Ох

• В = 0, А ≠0, С ≠ 0 { Ax + C = 0} – прямая параллельна оси Оу

• В = С = 0, А ≠0 – прямая совпадает с осью Оу

• А = С = 0, В ≠0 – прямая совпадает с осью Ох

Условие параллельности:

Если прямые заданы уравнениями xcosα+ysinα-ρ=0(нормальное ур-ие прямой) с угловым коэффициентом, то необходимое и достаточное условие их параллельности состоит в равенстве их угловых коэффициентов:

k₁ = k₂.

Условие перпендикулярности:

В случае, когда прямые заданы уравнениямиx cosα+y sinα-ρ=0 с угловым коэффициентом, необходимое и достаточное условие их перпендикулярности заключается в том, что их угловые коэффициенты обратны по величине и противоположны по знаку, т. е.

Угол между прямыми

Углом междупрямыми A и B называется угол, на который надо повернуть первую прямую A вокруг точки пересечения этих прямых против движения часовой стрелки до совпадения ее со второй прямой B. Если две прямые заданы уравнениями с угловым коэффициентом.

y=kx+m

Уравнение спроса.ур-е предложения.точкаравновес.цены

Деление отрезка в заданном отношении.

Если точка М(x; y) лежит на прямой, проходящей через две данные точки ( , ) и ( , ), и дано отношение , в котором точка М делит отрезок , то координаты точки М определяются по формулам

, .

Если точка М является серединой отрезка , то ее координаты определяются по формулам

, .

Вывод ур-ияокр-ти.

Если точка С - центр окружности, R - ее радиус, а M - произвольная точка окружности, то из определения окружности следует, что . Последнее равенство есть характеристическое уравнение окружности радиуса R с центром в точке C.

Пусть на плоскости задана прямоугольная декартова система координат и точка C(a;b)- центр окружности радиуса R. Пусть М(х;у) - произвольная точка этой окружности. Как известно, расстояние , поэтому уравнение можно записать так:

или

Вывод ур-ия эллипса

Эллипсом называетсягеометрическое место всехточек плоскости, сумма расстояний от которых до фокусов есть величинапостоянная, большая, чем расстояние между фокусами.

Обозначим фокусы эллипса буквами и . Расстояние между ними - фокальное расстояние , и . Если М(х;у) - произвольная точка эллипса, то по определению эллипса - характеристическое уравнение эллипса .

Введем систему координат: , и . Тогда фокусами будут точки и .

Пусть М(х;у) - любая точка эллипса, тогда

Запишем характеристическое уравнение эллипса в координатной форме:

Преобразуем равенство:

Перенесем в левую часть равенства выражение, содержащее корень:

Так как а>с, то . Пусть , то

- каноническое уравнение эллипса .

Вывод ур-ия гиперболы

Пусть расстояние между фокусами и гиперболы равно 2с , а абсолютная величина разности расстояний от точки гиперболы до фокусов равна . Тогда гипербола в выбранной выше системе координат имеет уравнение

где

Доказательство. Пусть M(х;у) -- текущая точка гиперболы (рис. 12.9).

Так как разность двух сторон треугольника меньше третьей стороны, то , то есть , . В силу последнего неравенства вещественное число b , определяемое формулой существует.

По условию, фокусы -- , . По формуле для случая плоскости получаем

По определению гиперболы

Это уравнение запишем в виде

Обе части возведем в квадрат:

После приведения подобных членов и деления на 4, приходим к равенству

Опять обе части возведем в квадрат:

Раскрывая скобку и приводя подобные члены, получим

С учетом формулы уравнение принимает вид

Разделим обе части уравнения на и получим уравнение

Вывод уравнения параболы

Параболой называется множество всех точек плоскости, каждая из которых одинаково удалена от данной точки, называемой фокусом, и данной прямой, называемой директрисой. Расстояние от фокуса F до директрисы называется параметром параболы и обозначается через p (p > 0).

Для вывода уравнения параболы выберем систему координат Оху так, чтобы ось Ох проходила через фокус F перпендикулярно директрисе в направлении от директрисы к F, а начало координат О расположим посередине между фокусом и директри­сой (см. рис. 60). В выбранной системе фокус F имеет координаты , а уравнение директрисы имеет вид х=-р/2.

Пусть М(х;у) — произвольная точка параболы. Соединим точку Μ с F. Проведем отрезок ΜΝ пер­пендикулярно директрисе. Согласно определению параболы MF = ΜΝ. По формуле расстояния между двумя точками на­ходим:

Следовательно,

Возведя обе части уравнения в квадрат, получим

т. е.

Уравнение  называется каноническим уравнением параболы. Парабола есть линия второго порядка.