Расстояние от точки до до прямой на плоскости и в пространстве.

Впространстве:

Теорема.Если задана точка М(х₀ , у₀ ), то расстояние до прямой Ах + Ву + С =0 определяется как

Доказательство.Пусть точка М ₁(х ₁, у ₁) – основание перпендикуляра, опущенного из точки М на заданную прямую. Тогда расстояние между точками М и М₁ :

Координаты x₁ и у₁ могут быть найдены как решение системы уравнений:

(1)

Второе уравнение системы – это уравнение прямой, проходящей через заданную точку М ₀ перпендикулярно заданной прямой.

Если преобразовать первое уравнение системы к виду:

A(x – x ₀ ) + B(y – y₀ ) + Ax₀ + By₀ + C = 0,

то, решая, получим:

Подставляя эти выражения в уравнение (1), находим:

На плоскости:

Пусть прямая на плоскости задана уравнением и точка имеет координаты (рис. 25). Обозначим – основание перпендикуляра, опущенного из точки на прямую , , _d – расстояние от точки до прямой . Тогда , а – нормальный вектор прямой. Рассмотрим скалярное произведение . С одной стороны, , так как , следовательно, угол между ними или . С другой стороны, , но точка , поэтому ее координаты удовлетворяют уравнению , откуда , поэтому . Приравнивая выражения, получим

. Тогда или

. (2.21)

Рис. 25

С помощью алгебраических уравнений в пространстве можно задавать не только поверхности, но и линии. Линию в пространстве естественно рассматривать как пересечение двух поверхностей, т.е. как геометрическое место точек, принадлежащих одновременно двум поверхностям.

Общее ур-ие плоскости и его исследование

Общее уравнение плоскости (рис. 4.13)

где - нормальный вектор плоскости.

В векторном виде .

Частные случаи общего уравнения плоскости:

1) By + Cz + D = 0 - параллельна оси Ox;

2) Ax + Cz + D = 0 - параллельна оси Oy;

3) Ax + By + D = 0 - параллельна оси Oz;

4) Cz + D = 0 - параллельна оси Oxy;

5) By + D = 0 - параллельна оси Oxz;

6) Ax + D = 0 - параллельна оси Oyz;

7) Ax + By + Cz = 0 - проходит через начало координат;

8) By + Cz = 0 - проходит через ось Ox;

9) Ax + Cz = 0 - проходит через ось Oy;

10) Ax + By = 0 - проходит через ось Oz;

11) z = 0 - плоскость Oxy;

12) y = 0 - плоскость Oxz;

13) x = 0 - плоскость Oyz.