Ранг матрицы.Совместность и несовместность СЛУ

Рангом матрицы называется число, равное порядку наибольшего определителя неравного 0, построенного на этой матрицы.

Существуют элементарные преобразования , которые НЕ изменяются ранг матрицы к ним относятся:

1)перемена мест у двух параллельных рядов.

2)удаление из матр. Ряда целиком из 0

3)транспонирование матр.

4) Умножение/деление целого ряда на любое число не = 0

5) Сложение ряда с параллельным ему, умноженным на некоторое число не =0

СЛУ наз-сясовместнойесли имеет хотя бы одно решение(1-о решение-определенная,нескреш-неопределенная).

СЛУ наз-сянесовместной.если не имеет решений.

Теорема Кронекера-капелли

Для того, чтобы рассматриваемая СЛУ была совместной н.ид.чтобырангА=рангВ

Из теоремы следует:

1)Если рангА не= рангВ, то СЛУ несовместна.

2)Если рангА=рангВ=n(число неизвестных), то решение системы имеет единственное решение.

3)Если рангА=рангВ меньше n, то СЛУ имеет большинство решений

-Если рангА=n, то СЛУ однор. Имеет только единственное нулевое решение.

-Если ранг меньше n, то кроме нулевого есть и ненулевые решения.

Линейная балансовая модель.(модель Леонтьева)

Рассмотрим n-отраслей причем каждый из них с одной стороны производит продукцию, а с другой является потребителем своей и соседней отраслей.

Введем обозначения:

Х_i – общий или валовой объем продукции отрасли i=1 – n

Х_ij - объем продукции отрасли i, который в процессе производства потребляется отраслью j. j=1-n

Y_i – объем конечного продукта отрасли i.

Должно быть выполнено уравнение баланса:

Введем кофициенты прямых затрат

a_ij=X_ij/X_j

Выразим отсюда i и j

X_ij=a_ijX_j

И подставим в уравнение баланса.

Матрицы прямых и полных затрат и их смысл.

Ведем обозначения:

-матрица прямых затрат,котораяозначает»затратыподукции отраслиi необходимые на произ-во един-ы продукции отрасли j.

Х=Х1

Х2 - вектор валового выпуска

..

Хn

-вектор конечного продукта

Тогда уравнение баланса можно записать в матр. виде

Х=АХ+У

Х-АХ=У

(Е-А)Х=У

Если существует обрат.матр.

(Е-А)ˉ¹, т.е. определ. Е-А не =0, то матр. (Е-А)ˉ¹=S называется матр. полных затрат

Ее элементы показывают велечину валового выпуска продукции отрасл. i необходимого для выпуска единицы конечного продукта Уj

Х=АХ+У

(Е-А)*Х=У

Пусть существует,

S=(E-A)ˉ¹

Тогда

Х=S*Y

Умножив обе части последнего равенства на S , то получим валовый вектор.

Продуктивность модели.

Матрица А называется продуктивной, (А≥ 0) если для любого У≥ 0 существует решение Х для системы уравнения Х=SY

Соответственно и модель Леонтьева тоже продуктивна.

Критерий продуктивности:

Max сумм эл-ов по столбцам не больше 1, и хотя бы для одного столбца такая система строго меньше 1.

Для того чтобы матрица коэффициентов прямых материальных затрат А была продуктивной, необходимо и достаточно чтобы выполнялось одно из перечисленных ниже условий:

1) матрица (Е - А) неотрицательно обратима, т.е. существует обратная матрица ;
2) матричный ряд сходится, причем его сумма равна обратной матрице (Е - А)^-1;

3) наибольшее по модулю собственное значение матрицы А, то есть решение характеристического уравнения

строго меньше единицы;
4) все главные миноры матрицы (Е - А), т.е. определители матриц, образованные элементами первых строк и первых столбцов этой матрицы, порядка от 1 до n, положительны.
Более простым, но только достаточным признаком продуктивности матрицы А является ограничение на величину ее нормы, т.е. на величину наибольшей из сумм элементов матрицы А в каждом столбце. Если норма матрицы А строго меньше единицы, то эта матрица продуктивна; повторим, что данное условие является только достаточным, и матрица А может оказаться продуктивной и в случае, когда ее норма больше единицы.