МЕТОД МОНТЕ-КАРЛО ИЛИ МЕТОД СТАТИСТИЧЕСКИХ ИСПЫТАНИЙ

В тех случаях, когда при моделировании необходимо учитывать некоторый случайный фактор (элемент или явление), который невоз­можно описать аналитически, используют метод моделирования, на­зываемый методом статистических испытаний или методом Монте-Карло. С помощью этого метода может быть решена любая вероятностная задача. Однако использовать его целесообразно в том случае, если решить задачу этим методом проще, чем любым другим.

Суть метода состоит в том, что вместо описания случайных яв­лений аналитическими зависимостями проводится розыгрыш случай­ного явления с помощью некоторой процедуры, которая дает случай­ный результат. С помощью розыгрыша получают одну реализацию случайного явления. Осуществляя многократно такой розыгрыш, на­капливают статистический материал (то есть множество реализаций случайной величины), который можно обрабатывать статистически­ми методами. Рассмотрим этот метод на примерах.

Пример 1.Пусть четыре стрелка одновременно стреляют по движущейся цели. Вероятность попадания в цель каждым стрелком равняется 0,5 (попал или не попал). Цель считается пораженной, если в нее попало два или более стрелка. Найти вероятность поражения цели.

Эту задачу можно легко решить методами теории вероятности. Вероятность поражения цели Р_пор = 1 - Р_непор.

Вероятность не поражения Р_непор определяют как число сочета­ний, когда в цель не попал ни один стрелок, плюс попал один из стрелков:

Решим эту задачу методом статистических испытаний. Проце­дуру розыгрыша реализуем подбрасываниям одновременно четырех монет. Если монета падает лицевой стороной, то считаем, что стрелок попал в цель. Обозначим через т число успешных испытаний. Сделаем N испытании, тогда в соответствии с теоремой Бернулли: Р_пор≈m/N.

Пример2. Пусть есть некоторая цель, на которую бомбарди­ровщики сбрасывают п бомб. Каждая бомба поражает область в виде круга радиусом r (рис. 3.1). Цель считается пораженной, если одно­временно бомбами накрыто К процентов площади S. Найти вероят­ность поражения цели.

Аналитически решить эту задачу очень трудно. Покажем, как ее можно решить методом статистических испытаний.

Наложим координатную сетку на всю возможную область попа­дания бомб. Разыграем п точек - координат попадания бомб. Опишем возле каждой точки круг радиусом r (рис. 3.2) и определим заштри­хованную площадь поражения. Если заштрихованная площадь будет составлять К процентов и больше всей площади цели S, то цель счи­тается пораженной, а испытание успешным. В противном случае цель не будет поражена и испытание не успешное.

Выполним N испытаний. Тогда вероятность поражения цели Р_пор≈m/N, где т - количество испытаний, при которых цель была по­ражена.

Методом статистических испытаний можно оценить математи­ческое ожидание и другие вероятностные характеристики. Например, оценку математического ожидания площади поражения цели можно определить как M(s)=1/N∑S_i. При N ->°° эта оценка будет приближаться к математическому ожиданию в соответствии с законом больших чисел. В этом выражении S_i - площадь поражения в i-м испы­тании.

АЛГОРИТМ МЕТОДА СТАТИСТИЧЕСКИХ ИСПЫТАНИЙ:

1. Определить, что собой будет представлять испытание или ро­зыгрыш.

2. Определить, какое испытание является успешным, а какое -нет.

3. Провести большое количество испытаний.

4. Обработать полученные результаты статистическими метода­ми и рассчитать статистические оценки искомых величин.

К недостаткам метода можно отнести необходимость проведе­ния большого количества испытаний, чтобы получить результат с за­данной точностью.

Таким образом, метод статистических испытаний - это метод математического моделирования случайных величин, в котором сама случайность непосредственно включена в процесс моделирования и является его важным элементом. Каждый раз, когда в ход выполне­ния некоторой операции вмешивается случайный фактор, его влияние моделируется с помощью розыгрыша.

N-КАНАЛЬНАЯ СМО С ОТКАЗАМИ

Рассмотрим на примере 2 канальной системы с 2 местами в очереди.

S0 – система в режиме ожидания; S1 –1 канал занят, очереди нет; S2 – 2 канала занято , очереди нет; S3 – 2 канала занято , 1 в очереди; S4 – 2 канала занято , 2 в очереди

λ – интенсивность поступления заявок, Тобс = 1/ μ – время обслуживания.

р= λ/μ = λ* tобсл - приведенная интенсивность входного потока (кол-во заявок приходящих в систему в среднем за среднее время обслуживания одной заявки)

.

Абсолютная пропускная способность: А= λ*Q = k*μ

Относительная пропускная способность:

Ср.число занятости канала: ;

Р₁= р*Р₀; Р₂= Р_{0 *} р²/2; Р₃= Р_{0 *} р³/3;

Число занятых каналов:

k= λQ/ μ = рQ= Р₁*1+ 2*(Р₂+ Р₃+ Р₄)

Lоч = Р₃*1+ Р₄*2; tсист = Lсист/ λ; tоч = Lоч/ λ - среднее время нахождения заявки с системе, и среднее время в очереди (tсист и tоч – формулы Литтла).