РОЗВ’ЯЗАННЯ СИСТЕМ ЛІНІЙНИХ АЛГЕБРИЧНИХ РІВНЯНЬ

Мета роботи –дослідити способи розв’язання систем лінійних алгебраїчних рівнянь.

Теоретичні відомості

    Розглянемо спочатку можливості, які пропонує MathСad для пошуку розв’язку системи лінійних алгебричних рівнянь.

    Нехай задана система n алгебричних рівнянь виду

і треба знайти її розв’язок. Для цього треба сформувати матрицю коефіціентів системи

і вектор-стовпець її правих частин. Вектор розв’язків х шукають як розв’язок матричного рівняння Ах=b так (приклад 1 на рис.9.1):

Рис.9.1. Приклади розв’язання систем лінійних алгебричних рівнянь

    Для пошуку розв’язку системи лінійних рівнянь призначена також вбудована функція lsolve(A,b),що повертає вектор розв’язків (приклад 2 на рис.9.1).

Якщо розв’язок системи використовуватиметься в подальших розрахунках, його треба запам’ятати, використавши ідентифікатор вектора як, наприклад, у способі 1 на рис.9.1.

    Для символьного розв’язання систем лінійних рівнянь можна застосовувати метод, що використовує обернену матрицю коефіціентів системи (аналогічно способу 2 на рис.9.1), але замість оператора обчислення результату треба використати оператор  з палітри символьних перетворень, що відкривається кнопкою із зображенням магістерського капелюха на палітрі математичних знаків (див. рис.9.2).

Рис.9.2. Символьне розв’язання систем лінійних рівнянь

Послідовність виконання роботи

1. За наперед відомим розв’язком сформуйте систему чотирьох лінійних рівнянь.

2. Розв’яжіть систему рівнянь різними способами в числовому вигляді

3. Перевірте вірність отриманного розв’язку.

4. Розв’яжіть систему рівнянь у символьному вигляді.

5. Розв’яжіть заданну систему рівнянь, застосувавши функцію Find :

       1)

       2)

       3)

       4)

       5)

6)

7)

8)

9)

10)

6. Перевірте графічно отриманий у п.5 розв’язок.

7. Знайдіть коефіціенти функції F(x)=a₂ x²+a₁ x+a₀, якщо відомі такі її значення : F(3)=5, F(-1)=0, F(-2)=3.5.

8. Перевірте графічно отриманий розв’язок.

Контрольні запитання

1. Які способи розв’язання систем рівнянь передбачають задання матриць їх коефіцієнтів?

2. В якому вигляді може подавати Mathcad символьний розв’язок системи рівнянь?

3. Чи завжди система рівнянь має розв’язок?

4. Чи може система рівнянь мати декілька розв’язків?

Лабораторна робота №10

РОЗВ’ЯЗАННЯ СИСТЕМ НЕЛІНІЙНИХ АЛГЕБРИЧНИХ РІВНЯНЬ

Мета роботи –дослідити способи розв’язання систем нелінійних алгебричних рівнянь.

Теоретичні відомості

Для пошуку точного розв’язку системи нелінійних рівнянь в MathСad існує вбудована функція Find (x1,x2,…,xn), результатом виконання якої є п невідомих системи (для системи порядку п) – її розв’язок.

    Застосування цієї функції вимагає створення в документі спеціального обчислювального блоку, що відкривається службовим словом Given та має таку структуру:

початкові умови

Given

рівняння

обмежувальні умови

вираз з функцією Find.

        Блок такої структури дозволяє шукати розв’язок одного нелінійного рівняння або системи.

    Початкові умови задають початкові значення шуканих змінних. В рівняннях системи, що задаються, замість звичайного знаку рівності використовується “жирний” знак рівності з палітри булевих операторів (див.рис.2.1). Обмежувальні умови зазвичай задаються рівностями або нерівностями, яким повинен задовольняти розв’язок.

    Система рівнянь, задана на рис.10.1, має два набори розв’язку, оскільки пряма, описана другим рівнянням системи, перетинає параболу, що описана першим рівнянням, у двох точках. Кожний набір розв’язків шукається окремо зі своїми початковими і обмежувальними умовами.

Рис.10.1. Приклади розв’язання системи нелінійних рівнянь

Для символьного розв’язання систем нелінійних рівнянь використовується обчислювальний блок зі словом Given, але без початкових і обмежувальних умов, та зі знаком  замість = після ідентифікатора функції пошуку розв’язку Find.

    Приклад символьного розв’язання рівняння наведений на рис.10.2.

Рис.10.2. Символьне розв’язання системи нелінійних рівнянь