Анализ основных принципов оптимальности, форм компромиссов и методов решения на основе понятий стабильности и эффективности

В соответствии с понятиями стабильности и эффективности многие из существующих принципов оптимальности связаны с тремя базовыми: оптимальность на основе гарантированных подходов, коалиционного равновесия и кооперативных соглашений.

Принцип оптимальности на основе гарантированных решений базируется на исследовании максиминных и минимаксных задач и равновесных (седловых) решений.

Принцип оптимальности на основе коалиционного равновесия связан с игровыми подходами в виде скалярного Нэш-равновесия, векторных равновесий (в частности, «сильного» равновесия, векторного Нэш-равновесия, -равновесия и др.), коалиционного равновесия на основе
V-решений («угроз и контругроз») и др.

Принцип оптимальности на основе кооперативных соглашений содержит два основных взаимосвязанных направления: векторная оптимизация для определения множества Парето-решений (без структурных свойств ММС)(скаляризация, лексикографическая оптимизация, пороговая оптимизация и принцип сложности, оптимизация на основе конусов доминирования, среднеквадратическая оптимизация и др.) и исследование кооперативной игры в форме характеристической функции (с элементами учета структуры ММС: коллективной и индивидуальной рациональности и т.д.) (С-ядро, Н-ядро, решение Нэймана–Моргенштерна (Н-М-решение), решение на основе вектора дележа Шепли, с учетом и без учета платежей и др.). Причем решаются задачи получения множества Парето и выбора кооперативного (эффективного) компромисса (принцип сложности,
-оптимизация, дележ по Шепли, среднеквадратическая стратегия, арбитражная схема и др.).

Известны также определенные результаты по комбинированию стабильных и эффективных решений (некоторые условия их совпадения, методы доминирования, некоторые методы комбинирования Парето-решений, максиминных решений, Нэш-решений, предостережений типа «угроз-контругроз», работы по анализу условий вступления в коалицию и др.).

Обзор существующих подходов и методов приведен в [54] и разделен по главам. Кроме того, рекомендуются авторские рефераты некоторых фундаментальных и обзорных работ по неантагонистическим играм с анализом и дополнениями: Э.М. Вайсборда–В.Н. Жуковского [32], Э.Й. Вилкаса [39], Ю.Б. Гермейера [84], Н.С. Кукушкина–В.В. Морозова [137], Э. Мулена [158]. В частности, в работе [84] для игр в нормальной форме на основе субъективного и объективного описания обстановки игры (см. стр. 2–3 реферата [84] и сноску в п.1.2) и понятия стратегий с информационным, смешанным расширением с использованием побочных платежей и с учетом способов обмена информацией (см. стр. 3–6 реферата [84]) приводится детальный анализ принципов оптимальности (принципов выбора рациональных стратегий). При этом учитываются информационные условия, степень коллективности действий и потребности практики (см. стр. 8–14 реферата работы [84]): оптимизация критерия коалиции-кооперации; оптимизация с осреднением; принцип максимина с позиции оперирующей стороны; принцип максимина в сочетании с коалиционной оптимизацией и оптимизацией с осреднением; получение абсолютно-оптимальной стратегии; получение стратегии наказания и поощрения; принцип гарантированного результата при обмене информацией в многошаговых играх с фиксированной последовательностью принимаемых решений; строгое и нестрогое (не единственность) равновесие и его связь с максимином, абсолютно-оптимальными стратегиями. Сделаны выводы о более общих свойствах равновесия, чем решения в БДИ. Приведен подробный анализ преимуществ и недостатков коалиций и методов их организации (см. стр. 15–22 реферата [84]).

Далее приводится краткий библиографический перечень некоторых классических и современных направлений.

В рамках методов исследования гарантированных решений (максиминных и минимаксных задач) наиболее известны следующие конструктивные направления (полностью см. [54]: обзоры глав 7, 8 по антагонистическим играм).

Это направления: Н.Н. Красовского–А.И. Субботина–А.Г. Ченцова–В.Д. Батухтина, В.М. Кейна, а также Е.А. Ивановой–Е.М. Воронова–А.В. Савина, например [15, 76, 111, 118, 129, 130, 245] [см. обзор гл. 7], на основе принципа экстремального направления областей достижимости; Р. Айзекса–Р. Беллмана–Ж.М. Андерсона, Д. Блекуэлла [см. обзор гл. 7] на основе динамического программирования и анализа сингулярностей нелинейных задач управления; В.Ф. Демьянова–В.Н. Малоземова–В.В. Федорова [94, 250], связанного с н/д условиями минимакса и максимина с аналитическими и численными методами определения решений; Л.С. Понтрягина–А.М. Летова–А.М. Баткова–Д.С. Иргера–В.М. Александрова–А.Д. Шараборова, а также Е.М. Воронова–В.А. Карабанова–А.П. Карпенко–А.П. Маслова [209, 210] [см. также обзор главы 8] и [3, 26, 27, 61–66] на основе детерминированного и стохастического принципа максимума или комбинации принципа максимума и фильтрации; А.Б. Куржанского [140] на основе методов наблюдения и управления ансамблем траекторий; Л.А. Петросяна–О.А. Малафеева–Г.В. Томского [см. обзор главы 7] и [199] на основе непрерывно-дискретных динамических игр; Ф.П. Черноусько, А.А. Меликяна [257], посвященное исследованию задач управления и поиска с перерывом поступления информации, эллипсоидными оценками и применением областей достижимости и неопределенности; А.Н. Лысенко, например [98], на основе аналитического конструирования и линейного наблюдения; Ю.Б. Гермейера [83] с глубоким анализом информационно-тактических свойств гарантирующих решений в исследовании операций; А. Брайсона, М. Берковица, У. Флеминга [278] на основе вариационных подходов; В. Явина – стохастическое преследование и уклонение [420] и др.

В [54] проведен подробный анализ неантагонистических игр.В рамках подходов на основе коалиционного равновесия: обзор по Нэш-оптимизации дан в главе 2, обзор по векторным равновесиям, коалиционному равновесию и V-решениям дан в главах 3,4. Обзор по методам векторной оптимизации дан в главе 3, анализ кооперативной игры на основе характеристической функции дан в главе 5. Развернутый обзор по существующим подходам на основе СТЭК дан в главе 6.

Кроме ряда фундаментальных и обзорных работ по неантагонистическим играм, например, Э.М. Вайсборда–В.Н. Жуковского [32], Э.Й. Вилкаса [39], Ю.Б. Гермейера [84], Н.С. Кукушкина–В.В. Морозова [137], Э. Мулена [168], следует отметить следующих авторов, чьи результаты внесли вклад в развитие неантагонистических игр и анализ работ которых дан в обзорах [54]: В.Ф. Бирюков, В.И. Борисов, Н.Н. Воробьев, В.М. Гаврилов, Ю.Б. Гермейер, В.В. Гороховик, А.Н. Джафаров, В.В. Дружинин, Г.И. Дюбин, В.Ю. Зверев, Ю.М. Ермольев, А.П. Карпенко, А.Ф. Кононенко, В.Ф. Крапивин, В.В. Кротов, А.Б. Куржанский, О.И. Ларичев, Ц.Г. Литовченко, Р. Льюс, Л.Н. Лысенко, Н.Н. Моисеев, А.А. Меликян, О. Моргенштерн, Д. Нейман, В.Д. Ногин, В.Н. Опойцев, Г. Оуэн, Р.А. Поляк, В.П. Пацюков, Л.А. Петросян, В.В. Подиновский, М.Е. Примак, Л.С. Понтрягин, Х. Райфа, Л.А. Растригин, Т. Саати, М.Е. Салуквадзе, В.А. Серов, Э.Р. Смольяков, Е.В.Смирнова, И.М. Соболь, Р.Б. Статников, В.Г. Суздаль, Г.В. Томский, А.Л. Топчишвили, Н.Т. Тынянский, М.М. Хрусталев, Ф.Л. Черноусько, S.L. Anderson, T.Basar, L.D. Berkovitz, I.H. Case, E.L. Dockher, I.V. Friedman, D. Ghose, I.C. Harsanyi, A. Haurie, S. Jorgensen, G. Leitman, M. Margiacco, H. Mukai, J. Nash, V. Pareto, L.F. Pau, B. Petrovic, V.R. Prasad, A. Ray, J.K. Sengupta, L.S. Shapley, R.Selten, H.L. Stalford, A.W. Starr, D. Yeung, J. Yong, P. Yu, L.S. Zazemba и др.

Следует отметить, что распределение принципов оптимальности по элементу классификации игр на игры с противоположными и непротивоположными интересами (неантагонистические игры) является условным, так как, к примеру, минимаксные (или максиминные) подходы могут быть применены и в играх с непротивоположными интересами при недостатке информации о партнерах, при формировании характеристической функции и арбитражной схемы. Более того, в цитированной работе [84] ряд постановок и условий для игр с непротивоположными интересами сформированы на основе обобщенного автором принципа гарантированного результата. В качестве второго примера «перемешивания» принципов конфликтного взаимодействия является условность их отношения к стратегическим и нестратегическим (кооперативным) играм. Так, из определения 1.9 следует, что единая коалиция действия кооперации порождает единую стратегию, которая совпадает с ситуацией, в отличие от определения 1.3. Понятие стратегии теряет смысл [190, стр. 17], и принятие решения в кооперативной игре принимает вид нормативного договорного акта (обязательного соглашения [168]). Результатом соглашения становится совместное получение «справедливого» дележа. Но подобный результат может быть получен после создания коалиции-кооперации, а в процессе ее организации решаются задачи стратегического характера. Во-первых, необходимо создать механизм обеспечения устойчивости коалиции-кооперации при неудовлетворенности участников кооперации результатами дележа и, во-вторых, обеспечить наилучшие для всех объектов условия дележа введением «арбитражной» [84] характеристической функции объекта (определение 1.8). Более детально вопрос образования коалиций-коопераций, как одной из основ компромиссов, рассмотрен в обзоре главы шесть, но уже здесь имеет смысл упомянуть, что, например, в фундаментальной работе [84] обсуждаются три степени коллективности действий (см. стр. 6 реферата [84]) и три формы объединения в коалицию с повышением степени коллективности (см. стр. 7–8 реферата [84]), анализируются (см. стр. 15–22 реферата [84]) девять условий образования коалиции, три условия невозможности коалиции, обсуждаются шесть трудностей их организации, причем часть трудностей преодолевается применением формализации (определение 1.8) и введением понятия игры с повторением, на базе которой формируется условие устойчивости кооперативного решения в коалиции. Конструктивны в этом направлении и результаты работы [137].

Отмечается, что принципы конфликтного взаимодействия, принципы кооперативной оптимальности, элементы классификации взаимосвязаны в рамках практической задачи и эти взаимосвязи порождают различные формы компромисса.

Можно выделить ряд свойств задач управления ММС, которые свидетельствуют о необходимости формирования компромиссов и создают определенную основу для этого:

· наличие в целевой эффективности ММС индивидуальных и общих интересов;

· изменение информационных условий в ММС (неполнота информации и информационное «перемирие» с добровольным обменом (при наличии искажений – «блефа») и «добыванием» информации, связь субъективной и объективной информационных ситуаций);

· возможности и условия образования коалиций и различных коалиционных структур в ММС для повышения индивидуальной и общей эффективности в ММС на основе предостережения (наказания и поощрения);

· комбинации стабильных и эффективных решений на основе необязательных соглашений или обязательной договорной основе (например, выбор наиболее эффективного стабильного решения, стабильного среди эффективных и др.);

· стремление ММС к предельному целевому качеству с обеспечением минимальной межуровневой конфликтности (между «арбитром» и «линейкой» равнозначных объектов – коалиций ММС) на основе обобщенного гомеостаза и т.д.

Как указано выше, эти и другие вопросы детально обсуждаются и развиваются в главе шесть и в [54].

1.5. Основные определения эффективности и стабильности.
Методы и алгоритмы стабильно-эффективного управления

Целью данной работы является изучение методов и алгоритмов стабильного и эффективного управления, способов формирования стабильно-эффективных компромиссов ММС (СТЭК ММС) с последующим применением средств автоматизированного проектирования и реализацией методов в прикладных задачах.

Определения стабильности и эффективности, используемые в работе, без ограничения общности сформулируем в рамках параметризованных управлений и/или процедур принятия решения, причем на общий вектор параметров наложены ограничения , где

                  ,

где .

Понятия эффективного управления базируется на Парето-оптимальном решении, -оптимальном решении и дележе Шепли.

Определение 1.11.Пусть множество индексов коалиции . Вектор  оптимален по Парето, если из условия  следует либо , либо система неравенств несовместна и хотя бы одно из неравенств противоположного смысла.

Определение 1.12.Пусть  – многогранный конус, определенный матрицей .

Пусть  – новый векторный показатель вида . Тогда оптимальное по Парето множество для  совпадает с -оптимальным множеством для .

Рис. 1.3. Парето- и -оптимальность

На рис. 1.3 для  приведены два конуса  и .

Из рис. 1.3 видно, что прямоугольный конус типа конуса с вершиной в точке С₁ удовлетворяет всей области П-Парето-решений, а «узкий» конус с вершиной С₂ выделяет на Парето-области подобласть -оптимальных решений.

Определение 1.13.Набор параметров  называется оптимальным по Шепли, если обеспечивает , где  – функция Шепли, которая, например, при  имеет вид [152]

где  – характеристическая функция, как точка равновесия по Нэшу (см. определение 1.14). Например, означает: , , .

Стабильные решения формируются в виде гарантирующих решений, скалярного равновесия по Нэшу, векторных равновесий (векторное равновесие по Нэшу, -равновесие) и коалиционного равновесия на основе V-решений в форме угроз-контругроз (УКУ) Вайсборда–Жуковского [32, 39].

Определение 1.14.Набор решений  является равновесным по Нэшу относительно скалярного показателя , который является функцией эффективности коалиции , если для любого

                , ,

где .

Определение 1.15(частный случай определения 1.14).

Если  и цели антагонистические, т.е. , то равновесие по Нэшу превращается в седловую точку

.

Определение 1.16.Набор параметров называется гарантирующим решением для показателя  коалиции , если .

Определение 1.17. Набор векторов параметров , где  называется коалиционным равновесием (V-решением в форме угроз-контругроз (УКУ)) при показателе коалиции , если при попытке коалиции  улучшить свой показатель (угроза – )

на множестве P допустимых коалиционных структур существует возможность создания контркоалиции , для которой реализуется контругроза

                              ;

                         .

Определение 1.18.Набор параметров  является равновесным по Нэш относительно векторного показателя , где  (фиксированная коалиционная структура), если набор  является V-решением без угроз и если для любых  и из условия  следует лишь  (т.е. на векторе  имеет место Парето-оптимальность).

Определение 1.19. Набор векторов параметров  называется W-равновесным относительно векторного показателя , где , если  есть V-решение без угроз и если для любых  и  из условия , где , следует либо , либо его несовместность (т.е. на векторе  в соответствии с определением 1.12 имеет место W-оптимальность).

Определения стабильных и эффективных решений позволили далее описать методы поиска этих решений на основе математического и алгоритмического обеспечения (см. главы 2–5, 7, 8 данного исследования и работу [54]). На рис. 1.4а представлены восемь основных методов и алгоритмов. Данные методы и алгоритмы были реализованы в рамках разработанных программных систем (глава 9):

· ПС «МОМДИС» (многокритериальной оптимизации многообъектных динамических систем с разработкой методов и алгоритмов определения Нэш, Парето, УКУ, Шепли и др. решений) в программной среде «MATLAB»;

· ПС «FILTR» (оптимизация стохастических антагонистических моделей в интегро-дифференциальной форме) на основе фильтрации и управления);

· ПС «ГАРАНТИЯ-М» (программная реализация программно-корректи-руемого закона управления на основе экстремального прицеливания) в программной среде DELPHI;

· ПС в «MATLAB» (проработка алгоритмов поиска векторного равновесия).

На рис. 1.4а справа указана степень проработки каждого алгоритма в соответствии с рис. 1.4б.

Рис. 1.4а. Применяемые методы и алгоритмы взаимодействия объектов и коалиций

Рис. 1.4б. Схема, иллюстрирующая уровень проработки алгоритма

Рис. 1.4в. Классификация СТЭК

Для ряда алгоритмов были исследованы возможности их параллельной реализации (см. главу 9).

На рис. 1.4в дана классификация стабильно-эффективных компромиссов (СТЭК) ММС на основе необязательных соглашений Мулена и строгой договорной основе (см. главу 6).

Рис. 1.5 иллюстрирует смысл компромиссов на основе комбинации Парето–Нэш–УКУ–Шепли-подходов.

Рис. 1.5. Компромиссы на основе комбинации Парето-Нэш-УКУ-Шепли-подходов:
П – Парето-граница АВ; Н – Нэш-равновесие; УКУ – область угроз-контругроз;
ИТ – идеальная точка; УК – W-оптимальная часть П-границы на основе узкого конуса W;
Ш – точка Шепли; СНД – Парето–Нэш-область компромиссов (ПНОК)

СТЭКи заключаются в выборе недоминируемого наиболее эффективного Нэш-решения (точка Н), формировании Парето–Нэш-области компромиссов (ПНОК) на основе прямоугольного конуса СНД, границей которой является Парето-граница. В области ПНОК выбираются УКУ-решения в той или иной степени близости к точке Шепли либо к «идеальной» точке.

Участникам игры имеет смысл выполнять необязательные соглашения в связи с устойчивостью ситуации в точке УКУ-решения.

В рамках обязательных соглашений рассматриваются комбинации арбитражных схем с УКУ–Нэш-равновесием, среднеквадратических решений с точкой Шепли и др. (см. гл. 6).

Игровые подходы имеют большую значимость в развитии интеллектуальных систем управления (ИСУ) [215], в состав которых входят, по меньшей мере, два присущих лишь ИСУ блока: динамическая экспертная система (ДЭС) и подсистема предельного целевого качества (ППЦК). Кроме необходимости пополнения базы знаний ДЭС разрабатываемыми игровыми алгоритмами, с одной стороны, и интеллектуализации компромиссов с учетом возможностей ИСУ, с другой стороны, в настоящее время разрабатывается концепция формирования ППЦК на основе игровых компромиссов в ММС и обобщенного гомеостаза [46, 216, 412] (см. гл. 6, 12), а также на основе игровых компромиссов в иерархических системах [218].