Математическая модель конфликтной ситуации в ММС

В соответствии с определениями игры математическая модель конфликтной ситуации должна содержать четыре компоненты: математическая модель ММС с выбором описания и управляющих сил, векторный целевой показатель, характер коалиционных объединений и принцип конфликтного взаимодействия на основе стабильности и эффективности. Далее последовательно раскрывается модель конфликтной ситуации в форме дифференциальной игры в нормальной форме, когда выбор стратегий связан с выбором управлений, которые однозначно определяют исход в виде значения вектора показателей игры.

1.3.1. Математическая модель ММС с выбором описания
и управляющих сил

Математическое описание ММС.В качестве основного описания ММС принимается система динамико-алгебраических связей

                                  (1.11)

где N – число объектов в ММС;  – вектор состояния ММС с  – динамическими и  – алгебраическими состояниями; – множество состояний; y – вектор выхода ММС;  – вектор управления ММС;  – вектор параметров ММС, которые характеризуют параметрическую неопределенность в (1.11а–в) и возможную параметризацию в (1.11г).

Выражения (1.11) характеризуют динамические связи (а), алгебраические связи (б), вектор выхода (в) и функцию принятия решения и управления (г). Управление

                                             ,                                        (1.12)

 – подвектор управления i-м объектом ММС.

Свойства правых частей (1.11а), (1.11б) типичные (см., например, реферат работы [32] в приложении к1), в основном, это непрерывность и дифференцируемость, а для (1.11а) – выполнение условий Липшица.

О выборе управляющих сил.Как известно, существуют три основных способа задания управляющих сил:

1) Вектор параметров ;

2) Программное управление ;

3) Закон управления (или позиционное управление) , .

Свойства управлений и множеств управлений варьируются, но типичные свойства можно найти, например в [32] (см. реферат [32] в приложении к¹). Наиболее желаемые свойства U – это свойства выпуклости и компактности (или слабой компактности) [121].

Ввиду сложности краевых задач в ММС имеет смысл ориентироваться на комбинацию приближенных гибких вычислительных схем и классических оптимизационных структур управления, например, математического программирования и оперативного управления [203], с существенной параметризацией управляющих сил во временных интервалах их приложения.

Поэтому, кроме трех указанных, рассматриваются следующие комбинации в представлении управляющих сил.

4) Параметризированное векторное программное управление , где

где : , ;  – непрерывные функции, заданные на отрезке  (1.13а) или на отрезке  (1.13б);  – интервал применения слагаемого управления  (1.13б)

при этом  и – заданное разбиение отрезка .

Возможны обобщения (1.13а), (1.13б). Так, например, функции  могут быть заданы отдельно для каждой скалярной компоненты и принимают вид . Для сохранения числа l интервалов параметризации (1.13б) на каждом отрезке [t_j-1,T] достаточно (1.13б) представить в виде

                                                                (1.13в)

где .

Если управление (1.13а) непрерывное, то управление (1.13б) кусочно-непрерывное. Типичный частный вид последнего при f_j(t) = 1 на

                 .           (1.14)

5) Параметризованный закон управления (стратегия)

где , ,  – заданные непрерывные функции.

6) Программно-корректируемый закон управления (ПКЗУ) (стратегия) при заданном разбиении отрезка  с малым

                          ,                    (1.16)

где  – допустимое программное управление  

на отрезке  при известном начальном условии  и реализуемое на .

Замечание 1.2.Данный ПКЗУ отличается от кусочно-программной стратегии Л.А. Петросяна [199]

где – программное управление на  при фиксированном значении .

7) Параметризованный ПКЗУ, который получается на основе комбинации 4 и 6, например, в виде (1.16), где

                                                           (1.17)

с разбиением  на отрезке  при фиксированном .

При параметризации управления и дискретизации временного интервала  возникает вопрос о степени приближения исходной задачи, полученной задачей с аппроксимацией управляющих сил. Допустимость приближений опирается на ряд фундаментальных факторов и некоторых условий.

Во-первых, в точной задаче рассматривается, как правило, класс управлений с конечным числом точек разрыва первого рода, к которым принадлежат и аппроксимированные управления.

Во-вторых, существенным является свойство сжатия функциональной связи показателей с управляющими силами, когда ограниченным структурным изменениям управляющих сил соответствует малое изменение значений показателей. Данное свойство грубости часто имеет место в задачах управления.

В-третьих, очевидно, что при сведении исходной задачи к конечномерной задаче нелинейного программирования результат уточняется при определенном увеличении размерности вектора параметров. В этом случае контролируемые приближения для некоторых классов систем могут быть обеспечены, например, на основе спектральных методов развитых в работах В.В. Солодовникова, В.В. Семенова, А.Н. Дмитриева, Н.Д. Егупова и других [см., например, работу А.И. Трофимова, Н.Д. Егупова, А.Н. Дмитриева. Методы теории автоматического управления. – М.: Энергоатомиздат, 1997. – 654 с.]. Следует также отметить, что параметризация управляющих сил позволяет на основе параметрических сетей, например [238], преодолевать возрастающие трудности глобальной оптимизации в многокритериальных задачах, приближенно оценивать существование и единственность решения и назначать начальное приближение для локального поиска точного решения. В этом случае методы и алгоритмы приобретают, по меньшей мере, двухэтапную структуру. На первом этапе на основе сетевых подходов оценивается множество решений и выбирается начальное приближение в «выгодной» локальной области. На втором этапе на основе начального приближения решается точная задача определения параметризованного оптимального управления или управления в форме 2,3.

1.3.2. Векторный целевой показатель

Целевые свойства ММС характеризуются вектором

                       ,                (1.18)

который представляет собой сложную функциональную связь с указанными величинами. Типичным видом i-й функции выигрыша (потерь) является функционал на

     . (1.19)

Свойства (1.19) даны в приложении к работе1 (см. реферат работы [32], стр. 4).

Кроме непрерывности (1.19) по (x, u) и дифференцируемости по управлению, желаемыми свойствами являются вогнутость-квазивогнутость (выпуклость-квазивыпуклость) функционала (1.19) на множестве управлений. При общих свойствах целевого вектора проблема глобальной оптимизации может быть преодолена, как отмечалось в п. 1.3.1, на основе двухэтапной структуры методов оптимизации с сетевым глобальным анализом и приближенным решением на первом этапе и точным локальным решением на втором.

Несовпадение размерности J с числом объектов означает, что некоторые объекты имеют векторную цель. Размерность показателя будет совпадать с числом объектов в ММС, если показатель каждого объекта скаляризуется.

1.3.3. Коалиционная структура действий и интересов ММС

Пусть  – коалиционная структура действий и интересов с размерностью  множества  индексов коалиций в каждой, где .

Тогда

                ,          (1.20)

где r есть, например, размерность множества индексов вектора параметров (после параметризации управлений) или множества индексов управлений (без параметризации);

              ,        (1.21)

где m – размерность множества индексов вектора показателей.

В свою очередь, каждой  соответствует, например, при полной параметризации вектор параметров  (или вектор  без параметризации). Каждой  соответствует целевой вектор .

Далее ограничиваемся .

Тогда разбиение

                    ,              (1.22)

где R – множество индексов, например, управлений, М – множество индексов вектора показателей.

Показатель каждой коалиции принимает, как правило, один из двух видов:

                                                ;                                       (1.23а)

                               , , ,                       (1.23б)

причем сумма индексов  равна m.

Коалиционные управления без параметризации принимают вид

                                , ,                          (1.24)

выражения (1.11а) преобразуются к виду

×                                                 (1.25)

Показатель в варианте (1.23б)

                         ,                  (1.26)

где ; .

В рамках введенной модели конфликта обозначения в определении 1.1 имеют следующие соответствия:

· множество стратегий множество ;

· множество исходов-состояний множество траекторий  на множестве ситуаций , или отображение Х, U на множество показателей ;

· множество возможных исходов-состояний множество возможных траекторий вектора  на множестве ситуаций  при фиксированном управлении , где , или множество значений  на множестве U;

· предпочтения коалиции  представлены максимизацией функции выигрыша (минимизацией потерь)  на множестве

1.3.4. Принципы конфликтного взаимодействия.
Понятия стабильности и эффективности

В общем случае имеют место пять принципов конфликтного взаимодействия:

· антагонизм ;

· бескоалиционное взаимодействие;

· коалиционное взаимодействие;

· кооперативное взаимодействие;

· иерархическое взаимодействие (с правом первого хода).

Так как ММС, по определению, является системой равнозначных объектов (горизонтальный набор на рис. 1.1), то задачи с правом первого хода в данной работе не рассматриваются.

Уже данное перечисление показывает, что свойства конфликтных взаимодействий робастны, так как позволяют делать здравые оценки эффективности в условиях неопределенности среды, неопределенности «активного партнера» и неопределенности цели с учетом характера неопределенности и конфликтности.

Как известно, в данных принципах конфликтного взаимодействия заложены три фундаментальных понятия теории игр: стабильность, эффективность и стабильно-эффективный компромисс.

Стабильность ММС – это обеспечение устойчивых (уравновешенных по целям) процессов функционирования и проектирования многообъектных структур в условиях конфликтности (несогласованности) и/или неопределенности.

Эффективность ММС – это достижение максимального целевого качества объектов, коалиций и ММС в целом на основе устойчивого и рационального коалицианирования.

По меткому замечанию Ю.Б. Гермейера [83, 84]: «Классическая теория игр в части теории принятия решений преждевременно и чрезмерно заформализована». Данный недостаток сказывается во многих приложениях, в которых, как правило, требуется комбинирование указанных принципов взаимодействия, что в свою очередь требует преодоления информационно-тактических несостыковок данных подходов. Поэтому вопросы формирования компромиссов еще полностью не сняты.

Рис. 1.2. Частная классификация дифференциальных игр
(с выделением учитываемых признаков)

Cтабильно-эффективный компромисс в ММС (СТЭК ММС) – это объединение стабильности и эффективности в рамках множества решений – от полного совпадения данных свойств в одной точке пространства J(или U) до обеспечения возможной степени сближения в условиях информационно-тактических расширений соглашений.

СТЭК ММС дополняют СТЭК в иерархических системах (СТЭК ИС), где реализуется право первого хода на основе субъективной информации, что составляет тему отдельного исследования. Частная классификация дифференциальных игр с выделением учитываемых в работе свойств, которая обобщает модель конфликтной ситуации, дана на рис. 1.2, где АДИ, БДИ и т.д. – вид взаимодействия в дифференцированной игре (ДИ). Стохастические условия учтены в одном из классов АДИ (гл. 8).