Вычисление скалярного, векторного и смешанного произведений по координатам множителей.

1. Если в ортонормированном базисе векторы a и b имеют координаты (a₁, a₂, a₃) и (b₁, b₂, b₃), то (a, b) = a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃.

2. Если в ортонормированном базисе векторы a и b имеют координаты (a₁, a₂, a₃) и (b₁, b₂, b₃), то .

3. ([a, b],с) = <a, b, c> – объем ориентированного параллелепипеда, натянутого на a, b, c.

2. Основные типы уравнений прямой и плоскости. Угол между двумя прямыми. Расстояние от точки до прямой. Переход от общих уравнений к каноническим. Взаимное расположение прямой и плоскости.

 

Прямая:

1. Общее уравнение: Ax+By+C=0, где A, B, C – постоянные коэффициенты не равные нулю одновременно.

2. Уравнение прямой с угловым коэффициентом: у=kх+b.

3. Параметрическое уравнение прямой, проходящей через точку М₀=(x₀,y₀) и вектор а=(a₁,a₂), коллинеарный М₀М, где М – любая точка прямой: .

4. Каноническое уравнение прямой, проходящей через точку М₀=(x₀,y₀) вектор а=(a₁,a₂), коллинеарный М₀М, где М – любая точка прямой: .

5. Нормальное уравнение: xcosa+ysina-p=0 Û =0.

6. Уравнение прямой, проходящей через 2 точки: .

7. Общее уравнение прямой в пространстве:

Плоскость:

1. Общее уравнение: Ax+By+Cz+D=0, где A, B, C, D – постоянные коэффициенты не равные нулю одновременно.

2. Параметрическое уравнение плоскости проходящей через точку М₀=(x₀,y₀,z₀) и пару неколлинеарных векторов а=(a₁,a₂,a₃) и b=(b₁,b₂,b₃), компланарных М₀М, где М – любая точка плоскости: .

3. Нормальное уравнение: xcosa+ycosb+zcos¡-p=0 Û =0.

4. Уравнение плоскости в отрезках:  – отрезки, отсекаемые на Ох, Оу, Оz.

5. Уравнение плоскости, проходящей через точку M=(x₀,y₀,z₀) перпендикулярно вектору m=(A, B, C): A(x- x₀)+B(y-у₀)+C(z-z₀)=0.

6. Уравнение плоскости, проходящей через 3 точки, не лежащие на одной прямой: .

Угол между двумя прямыми.

Если прямые заданы каноническими уравнениями, то: .

Расстояние от точки до прямой.

Расстоянием от точки M₀ до прямой l называется длина перпендикуляра, опущенного из точки M₀ на прямую l. r(M₀, l)=½x₀cosa+y₀sina-p½= =0.

Взаимное расположение прямой и плоскости.

l: , a: Ax+By+Cz+D=0.

1. lÇa Û Аа+Bb+Cc¹0.

2. l çça Û Аа+Bb+Cc=0 и Ax₀+By₀+Cz₀+D¹0.

3. lÎa Û Аа+Bb+Cc=0 и Ax₀+By₀+Cz₀+D=0.

Приведение уравнений квадрик к каноническому виду в плоскости. Канонические уравнения эллипсоида, гиперболоидов, параболоидов.

Любое уравнение линии второго порядка может быть приведено к одному из трех видов: 1)ax²+by²+c=0; 2)ax²+2by=0; 3)ax²+c=0.

Любое уравнение поверхности второго порядка может быть приведено к одному из пяти видов: 1) ax²+by²+cz²+d=0; 2) ax²+by²+2cz=0; 3) ax²+by²+d=0; 4) ax²+2by=0; 3)ax²+d=0.

 - эллипсоид;

 - мнимый эллипсоид;

 - однополостный гиперболоид;

 - двуполостный гиперболоид;

 - эллиптический параболоид;

 - гиперболический параболоид;

 - эллиптический цилиндр;

 - мнимый эллиптический цилиндр;

 - гиперболический цилиндр;

 - параболический цилиндр;

 - конус;

 - мнимый конус;

- пара пересекающихся плоскостей;

 - пара мнимых пересекающихся плоскостей;

x² = a² - пара параллельных плоскостей;

x² = -a² - пара мнимых параллельных плоскостей;

x² = 0 - пара совпадающих плоскостей.