Каноническое уравнение эллипса.

ОПР: Эллипсом называется геометрическое место точек, для каждой из которых сумма расстояний до двух фиксированных точек плоскости, называемых фокусами, есть данное число 2а, большее, чем расстояние между фокусами=2с (  - эксцентриситет эллипса). ½F₁M½+½F₂M½=2a, где M – любая точка эллипса.

F₁, F₂ – фокусы эллипса; расстояние между F₁, F₂, равное 2с – фокусное расстояние; а – большая полуось; О – середина F₁F₂ – центр эллипса, F₁F₂ – первая (фокальная) ось; прямая, проходящая через О ^ F₁F₂ – вторая ось.

Теорема: Каноническое уравнение эллипса имеет вид

► Из неравенства треугольника:

½F₁M½+½F₂M½³½F₁F₂½. При a=c, точка М принадлежит [F₁,F₂], при a>c , точка М не принадлежит [F₁,F₂].

Дан эллипс. Построим его каноническое уравнение. Введем систему координат. Начало возьмем совпадающее с центром эллипса, ось абсцисс направим по фокальной оси, ось ординат направим по второй оси.

F₁=(-с,0), F₂=(с,0), М=(x,y)

½F₁M½+½F₂M½=2aÞ ,

,  по определению

, b – малая полуось.

 - каноническое уравнение эллипса.

Докажем, что если точка (х, у) удовлетворяет полученному уравнению, то она принадлежит эллипсу, то есть r₁+r₂=2a, где r₁, r₂ – фокальные радиусы. .

Из уравнения получим , и подставим значение y² в r₁.

Получим .

Из уравнения (так как 0<e<1).

Тогда ½a+ex½<a+ex.

Аналогично ½a-ex½<a-ex.

Тогда r₁+r₂= a+ex +a-ex =2a. ◄

Каноническое уравнение гиперболы.

ОПР: Гиперболой называется геометрическое место точек, модуль разности расстояний каждой из которых до двух данных точек – есть положительное и постоянное число 2а. ½½F₁M½-½F₂M½½=2a, где M – любая точка гиперболы.

F₁, F₂ – фокусы гиперболы; расстояние между F₁, F₂, равное 2с – фокусное расстояние; а – большая полуось; О – середина F₁F₂ – центр гиперболы; F₁F₂ – первая (действительная) ось; прямая, проходящая через О ^ F₁F₂ – вторая (мнимая) ось.

Эксцентриситет гиперболы

Теорема: Каноническое уравнение гиперболы имеет вид:

►½½F₁M½-½F₂M½½£½F₁F₂½.

Дана гипербола. Построим ее каноническое уравнение. Введем систему координат. Начало возьмем совпадающее с центром гиперболы, ось абсцисс направим по фокальной оси, ось ординат направим по второй оси.

Тогда F₁=(-с,0), F₂=(с,0), М=(x,y)

Þ ,

,

, b – малая полуось.

 - каноническое уравнение гиперболы.

Докажем, что если точка (х, у) удовлетворяет полученному уравнению, то она принадлежит гиперболе, то есть r₁+r₂=2a, где r₁, r₂ – фокальные радиусы. .

Из уравнения получим , и подставим значение y² в r₁.

Получим .

Из уравнения .

1. x³0, тогда r₁=а+ех, r₂= -(а-ех), ½r₁-r₂½= 2a.

2. x<0, тогда r₁= -а-ех, r₂= а-ех, ½r₁-r₂½= 2a. ◄