Каноническое уравнение параболы.

ОПР: Параболой называется геометрическое место точек плоскости, отношение расстояний от которых до некоторой точки F (фокуса) и до некоторой прямой d (директриса) постоянно. М – любая точка параболы.

Теорема: Каноническое уравнение параболы имеет вид у²=2рх

►Дана парабола. Построим ее каноническое уравнение. Введем систему координат. Начало возьмем в середине отрезка DF. D – точка пересечения директрисы d и прямой, перпендикулярной d, проходящей через F. За ось абсцисс примем DF, за ось ординат – прямую, перпендикулярную оси абсцисс, проходящую через О. Обозначим p – расстояние между F и d. Тогда F=(p/2,0). Уравнение директрисы d: x= -p/2.

у²=2рх – каноническое уравнение параболы. Заметим, что р>0, значит х³0.

Докажем, что если точка М=(х, у) удовлетворяет полученному уравнению, то она принадлежит параболе. Рассмотрим точку F=(р/2, 0) и прямую d: х = -р/2.

r(М, d)=½х+р/2½=х+р/2, .◄

Часть 2.

Преобразование координат. Деление отрезка. Расстояние между двумя точками. Объем параллелепипеда. Вычисление скалярного, векторного и смешанного произведений по координатам множителей.

Преобразование координат.

Oe₁e₂e₃ – первая система координат, O¢e¢₁e¢₂e¢₃ – вторая система координат. Запишем координаты точки M=(x, y, z) в новых координатах. Координаты начала и базиса второй системы координат в координатах первой системы имеют вид: O¢=(x₀, y₀, z₀), e¢₁=(a₁₁, a₂₁, a₃₁), e¢₂=(a₁₂, a₂₂, a₃₂), e¢₃=(a₁₃, a₂₃, a₃₃). Тогда , где A – матрица перехода (поворот), (x₀, y₀, z₀) – параллельный перенос начала координат.

На плоскости в случае прямоугольных систем координат матрица перехода есть . Где a – угол наклона новых осей к старым.

Деление отрезка.

Точка М делит направленный отрезок АВ в отношении lÎR, если  (если М лежит внутри АВ, то l>0, иначе l<0).

Расстояние между двумя точками.

Расстоянием между двумя точками называется длина вектора между этими точками и равно .

Объем параллелепипеда.

Ориентированным параллелепипедом наз-ся параллелепипед, натянутый на тройку некомпланарных векторов.

Объемом ориентированного параллелепипеда наз-ся объем параллелепипеда, натянутого на тройку некомпланарных векторов, если тройка векторов правая и объем параллелепипеда со знаком минус, если тройка векторов левая.

В прямоугольной системе координат объем ориентированного параллелепипеда равен , где x, y, z – векторы, на которые натянут ориентированный параллелепипед.