Теорема об общем уравнении плоскости в пространстве.

Пусть в пространстве задана аффинная система координат. Уравнение Ax+By+Cz+D=0 (*)

является уравнением плоскости тогда и только тогда, когда A, B, C – постоянные коэффициенты не равные нулю одновременно.

► Необходимость. Пусть (*) – уравнение некоторой плоскость .Эту плоскость можно задать точкой  и направляющим подпространством . Тогда имеем:

Пусть Так как , то

Разкладывая определитель по элементам первой строки, получим

Следовательно, уравнение плоскости  имеет вид: Ax+By+Cz+D=0,

где

Достаточность. Пусть (*) – уравнение первой степени. Для определенности будем считать, что . Зададим плоскость  так, чтобы она проходила через точку и имела направляющими векторами вектор  и вектор  Заметим, что координаты точки  удовлетворяют уравнению (*), а координаты векторов  и  удовлетворяют уравнению Ax+By+Cz+D=0. По предыдущему пункту доказательства  задается уравнением:

Так как уравнение (*) совпадает с уравнением плоскости , то (*) – уравнение плоскости .

Аналогично доказывается справедливость теоремы, если  или .◄

Параметрическое уравнение плоскости:

Выражая компланарность векторов  через параметры, получим параметрическое уравнение плоскости.

В самом деле, из компланарности указанных векторов и неколлинеарности векторов  и  следует, что , где t и u – однозначно определяемые числа (параметры т. М).

Представляя полученное векторное равенство в координатах, получим параметрическое уравнение плоскости

(1)

t, u – действительные числа.

Придавая различные значения для t и u, получим точки, принадлежащего плоскости .Верно и обратное: для любой точки плоскости  найдется такая, причем единственная пара действительных чисел t и u, которые удовлетворяют (1).

Нормальный вектор и теорема о расстоянии от точки до плоскости.

Рассмотрим прямоугольную систему координат.

ОПР: нормалью к плоскости называется перпендикулярный вектор, проведенный к плоскости из начала координат.

Пусть в прямоугольной декартовой системе координат плоскость  задана уравнением Если в этом уравнении имеет место равенство , т.е. , то уравнение называется нормальным уравнением плоскости.

Любое уравнение Ax+By+Cz+D=0 плоскости  можно привести к нормальному виду. Для этого достаточно обе части этого уравнения разделить на

- нормально уравнение прямой плоскости .

В самом деле

Теорема: Пусть плоскость задана общим уравнением Ax+By+Cz+D=0,  - произвольная точка. Тогда

►Очевидно, что , где .

 Тогда  - с одной стороны.

С другой стороны имеем:

. Отсюда следует, что: ◄

КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА. Канонические ур-ия эллипса, гиперболы и параболы.