Скалярное и векторное произведения.

ОПР: Скалярным произведением двух векторов a и b называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними: (a, b)=½a½×½b½×cosf.

ОПР: Тройка некомпланарных векторов a, b, c называется правой, если концы этих векторов, в порядке a,b,c расположены подряд по часовой стрелке, при условии, что они имеют общее начало.

ОПР: Векторным произведением двух векторов a и b называется вектор, длина которого равна произведению длин a и b на синус угла между ними, и направленный так, что тройка векторов a, b и [a, b] правая: [a, b]=½a½×½b½×sinf.

Свойства скалярного произведения.

1. (a, b) = (b, a) (по определению).

2. (a, b) = 0 Û a^b (по определению, cosp/2 = 0).

3. (a, a) = ½a½² (по определению, cos0 = 1).

4. (la, b) = (a, lb) = l(a, b).

5. (a, b + c) = (a, b) + (a, c).

6. Если в ортонормированном базисе векторы a и b имеют координаты (a₁, a₂, a₃) и (b₁, b₂, b₃), то (a, b) = a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃.

►6 свойство.

e₁,e₂,e₃ – прямоугольная (ортонормированная) система координат. (a, b) = (a₁e₁+a₂e₂+a₃e₃, b₁e₁+b₂e₂+b₃e₃) = a₁b₁(e₁,e₁)+a₂b₂(e₂,e₂)+a₃b₃(e₃,e₃)+… (остальные компоненты равны нулю по свойствам скалярного произведения) = a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃. ◄

Свойства векторного произведения.

1. [a, b] = - [b, a].

2. [la, b] = l[a, b].

3. [a, b] = 0 Û a и b коллинеарные.

4. ([a, b],с) = <a, b, c> – объем ориентированного параллелепипеда, натянутого на a, b, c.

5. [a + b, c] = [a, b] + [a, c].

6. Если в ортонормированном базисе векторы a и b имеют координаты (a₁, a₂, a₃) и (b₁, b₂, b₃), то .

ОПР: Объем ориентированного параллелепипеда, натянутого на в-ра a,b,c – наз-ся объем параллелепипеда, взятый со знаком +, если тройка в-ров a,b,c – правая, взятый со знаком –, если тройка в-ров a,b,c – левая.

ПРЯМАЯ И ПЛОСКОСТЬ. Теорема о параметрическом уравнении прямой в пространстве. Теорема об общем уравнении плоскости в пространстве. Нормальный вектор и теорема о расстоянии точки от плоскости.

Теорема о параметрическом ур-ии прямой в пространстве.

В декартовой с-ме координат ур-ие прямой, проходящей через точку М₀(x₀,y₀,z₀) и имеющей направляющий вектор а={x_a,y_a,z_a}, будет:

►Пусть M(x,y,z) – произвольная точка пространства, она лежит на прямой, проходящей через точку М₀(x₀,y₀,z₀), коллинеарной в-ру а={x_a,y_a,z_a} тогда и только тогда, когда в-ры  и а={x_a,y_a,z_a} коллинеарны, т.е. только тогда, когда  или . Отсюда получаем параметрическое ур-ие.◄