При решении задач без вывода

Скорость света в среде

,

где с – скорость света в вакууме; п – абсолютный показатель преломления среды.

Закон преломления света

,

где i и r – углы падения и преломления световых волн; п₂ и п₁ – абсолютные показатели преломления второй и первой сред.

Оптическая длина пути световой волны

,

где l – геометрическая длина пути световой волны в среде с показателем преломления п.

Оптическая разность хода двух световых волн

.

Зависимость разности фаз от оптической разности хода световых волн

где l - длина световой волны.

Условие максимального усиления света при интерференции (условие интерференционного максимума)

,

где k – порядок интерференционного максимума.

Условие максимального ослабления света (условие интерференционного минимума)

,

где k – порядок интерференционного минимума.

Оптическая разность хода световых волн, отраженных от верхней и нижней поверхностей тонкой пленки (пластинки),

- находящейся в воздухе (n_возд » 1) или в среде с n_среды < n

или

- находящейся в среде с бóльшим значением показателя преломления, чем у пленки (n_среды > n)

или

где d – толщина пленки; n – абсолютный показатель преломления пленки; i – угол падения; r – угол преломления; l - длина световой волны.

Радиусы светлых колец Ньютона в отраженном свете (или темных колец в проходящем свете)

где k – номер кольца; R – радиус кривизны поверхности линзы, соприкасающейся с плоскопараллельной пластинкой; n - показатель преломления среды между линзой и пластинкой.

Радиусы темных колец Ньютона в отраженном свете (или светлых колец в проходящем свете)

.

Радиус m-й зоны Френеля:

- для плоской волны                    - для сферической волны                

                           , (m =1,2,3, …),               

где m – номер зоны Френеля, а – расстояние от источника сферической волны до экрана с отверстием, b – расстояние от экрана до точки наблюдения.

Дифракция света на одной щели при нормальном падении лучей:

- условие минимумов интенсивности света

где а – ширина щели; j_k – угол отклонения (угол дифракции) лучей; k – номер минимума; l - длина волны;

- условие максимумов интенсивности света

где k – номер максимума.

Дифракция света на дифракционной решетке (на N - щелях) при нормальном падении лучей:

- условие главных максимумов интенсивности

где d – период (постоянная) дифракционной решетки; k - номер главного максимума; j_k – угол между нормалью к поверхности решетки и направлением дифрагированных волн;

- условие главных (прежних) минимумов интенсивности

где а – ширина щели; k – номер главного минимума;

- условие дополнительных минимумов интенсивности

где k – номер дополнительного минимума.

Разрешающая способность дифракционной решетки

,

где Dl – наименьшая разность длин волн двух соседних спектральных линий (l и l+Dl), при которых эти линии могут быть видны раздельно в спектре, полученном посредством данной решетки; N – число щелей решетки; k - порядковый номер дифракционного максимума.

Дифракция рентгеновских лучей на кристаллах (пространственной дифракционной решетке):

- условие максимумов интенсивности рентгеновского излучения (формула Вульфа-Брэггов)

где d – расстояние между атомными плоскостями кристалла; угол скольжения (угол между направлением пучка параллельных лучей, падающих на кристалл, и гранью кристалла); k – номер дифракционного максимума; l - длина волны рентгеновского излучения.

Степень поляризации света

,

где I_max и I_min – максимальная и минимальная интенсивность света, соответствующая двум взаимно перпендикулярным направлениям световых колебаний в луче.

Закон Брюстера

,

где i_Бр – угол падения, при котором отраженный луч полностью поляризован (угол Брюстера); п_2,1 – показатель преломления второй среды относительно первой.

Закон Малюса

,

где I₀ – интенсивность поляризованного света, падающего на анализатор; I – интенсивность поляризованного света, прошедшего через анализатор; a – угол между направлением колебаний светового вектора волны, падающей на анализатор, и плоскостью пропускания анализатора.

Угол вращения плоскости поляризации монохроматического света при прохождении через оптически активное вещество:

-          (в кристаллах),

-     (в растворах),

где a – постоянная вращения; С – концентрация раствора; d – длина пути в растворе (кристалле); [a] - удельное вращение.

Закон Стефана-Больцмана

,

где R_e – энергетическая светимость (излучательность) абсолютно черного тела, т.е. энергия, излучаемая в единицу времени единицей поверхности абсолютно черного тела (тела, способного поглощать полностью при любой температуре всë падающее на него излучение любой частоты); s - постоянная Стефана-Больцмана; Т – термодинамическая температура.

Энергетическая светимость серого тела (тела, поглощательная способность которого меньше единицы, но одинакова для всех частот и зависит только от температуры, материала и состояния поверхности тела)

,

где А_Т – коэффициент теплового излучения (степень черноты) серого тела; Т – термодинамическая (истинная) температура тела; Т_р – радиационная температура.

Первый закон Вúна (закон смещения Вúна):

,

где l_max – длина волны, на которую приходится максимум спектральной плотности энергетической светимости абсолютно черного тела; С₁ - постоянная закона смещения Вúна.

Второй закон Вúна:

,

где – максимум испускательной (излучательной) способности абсолютно черного тела; С₂ – постоянная второго закона Вúна.

Энергия фотона (кванта света)

, или ,

где h – постоянная Планка; n - частота фотона; с – скорость света в вакууме; l - длина волны фотона; – постоянная Планка, деленная на 2p ; w - циклическая частота .

Импульс и масса фотона

.

Формула Эйнштейна для внешнего фотоэффекта:

или ,

где А_вых – работа выхода электронов из металла; Е_{к max} – максимальная кинетическая энергия фотоэлектрона; V_max – максимальная скорость вылетевшего электрона.

Красная граница фотоэффекта

или ,

где n₀ – минимальная частота света, при которой еще возможен фотоэффект; l₀ – максимальная длина волны света, при которой еще возможен фотоэффект.

Формула Комптона:

, или ,

где l – длина волны фотона, встретившегося со свободным или слабосвязанным электроном; l^/ – длина волны фотона, рассеянного на угол q после столкновения с электроном; т₀ - масса покоящегося электрона.

Комптоновская длина волны

,

где h – постоянная Планка; m₀ – масса той частицы, при взаимодействии с которой происходит упругое рассеяние фотона (кванта рентгеновского или g-излучения); с – скорость света в вакууме.

Давление света при нормальном падении на поверхность

,

где Е_е – энергетическая освещенность или облученность (энергия всех фотонов, падающих на единицу поверхности в единицу времени); w – объемная плотность энергии излучения; r – коэффициент отражения.

Постулаты Бора:

1) первый постулат (постулат стационарных состояний):

        в атоме существуют некоторые стационарные состояния, не изменяющиеся во времени без внешних воздействий. В этих состояниях атом не излучает электромагнитных волн;

       2) второй постулат (правило частот):

       при переходе атома из одного стационарного состояния в другое им испускается или поглощается один квант энергии

,

равный разности энергий соответствующих состояний (Е_п и Е_k - энергии стационарных состояний, между которыми совершается квантовый скачок электрона);

       3) третий постулат (правило квантования орбит):

       в стационарном состоянии атома электрон, двигаясь по круговой орбите, должен иметь дискретные значения момента импульса, удовлетворяющие условию:

,

где mV_n – импульс электрона на п-й орбите; r_n – радиус п-й орбиты; п – номер орбиты.

Сериальная формула, определяющая частоту n света, излучаемого или поглощаемого атомом водорода или водородоподобных систем при переходе из одного стационарного состояния в другое,

,

где с – скорость света в вакууме; l –длина волны излученного или поглощенного фотона; R – постоянная Ридберга; Z – порядковый номер элемента (заряд в относительных единицах); n и k – целые числа; n – номер серии спектральных линий  (n = 1 – серия Лаймана, n = 2 – серия Бальмера, n = 3 – серия Пашена и т.д.). Для данной серии  k = n +1, n +2, n +3, и т.д.

Длина волны де Бройля

,

где р – импульс частицы.

Взаимосвязь массы и энергии релятивистской частицы

 или

где m – масса частицы, движущейся со скоростью V; с – скорость света в вакууме; m₀ – масса покоя частицы; Е₀ – энергия покоя частицы (Е₀ = т₀с²); b - скорость частицы, выраженная в долях скорости света .

Импульс частицы и его связь с кинетической энергией Е_К частицы:

- для нерелятивистского случая (скорость частицы V << c, что приводит к неравенству: Е_К << Е₀)

;

- для релятивистского случая

.

Кинетическая энергия релятивистской частицы

Полная энергия свободной частицы

Закон радиоактивного распада:

,

где dN – число ядер, распавшихся за интервал времени dt; N - число ядер, не распавшихся к моменту времени t; N₀ - число ядер в начальный момент времени (t = 0); l – постоянная радиоактивного распада.

Число ядер, распавшихся за время t,

В случае если интервал времени Dt, за который определяется число распавшихся ядер, много меньше периода полураспада (Dt << ), то число распавшихся ядер можно определить по формуле:

Зависимость периода полураспада от постоянной радиоактивного распада l:

Среднее время t  жизни радиоактивного ядра, т.е. интервал времени, за который число нераспавшихся ядер уменьшается в е раз,

Число N атомов, содержащихся в радиоактивном изотопе,

где m – масса изотопа; m - молярная масса; N_A – постоянная Авогадро.

Активность радиоактивного изотопа

или

где dN – число ядер, распадающихся за интервал времени dt; A₀ - активность изотопа в начальный момент времени.

Дефект массы ядра

,

где Z – зарядовое число (число протонов в ядре); А – массовое число (число нуклонов в ядре); (А - Z) – число нейтронов в ядре; т_р – масса протона; т_п – масса нейтрона; т_я – масса ядра.

Энергия связи ядра

,

где Dт – дефект массы ядра; с – скорость света в вакууме.

Энергетический эффект ядерной реакции

,

где с – скорость света в вакууме; – сумма масс исходных ядер; – сумма масс продуктов реакции.

Массовое число ядра (число нуклонов в ядре)

,

где Z – зарядовое число (число протонов); N – число нейтронов.

При всех ядерных реакциях выполняются законы сохранения:

а) закон сохранения энергии;

б) закон сохранения электрического заряда;

в) закон сохранения массового числа;

г) закон сохранения импульса и другие законы сохранения.

Примеры решения задач

Пример 1. От двух когерентных источников S₁ и S₂ (l = 0,8 мкм) лучи попадают на экран (т. Р, рис. 5.1). На экране наблюдается интерференционная картина. Когда на пути одного из лучей перпендикулярно ему поместили мыльную пленку (п = 1,33), интерференционная картина изменилась на противоположную, при какой наименьшей толщине d_min пленки это возможно?

Решение:

Изменение интерференционной картины на противоположную означает, что на тех участках экрана, где наблюдались интерференционные максимумы, стали наблюдаться интерференционные минимумы. Такой сдвиг интерференционной картины происходит при изменении оптической разности хода на нечетное число полуволн, то есть

                                 ,                       (5.1)

где D₁ – оптическая разность хода пучков световых волн до внесения пленки; D₂ – оптическая разность хода тех же пучков после внесения пленки; k – номер интерференционного максимума или минимума интенсивности пучков световых волн (k = 0, ±1, ±2, ±3, …) .

Наименьшей толщине пленки d_min соответствует номер k = 0. При этом формула (5.1) примет вид

                                        .                             (5.2)

Выразим оптические разности хода D₁ и D₂. Из рис. 5.1 следует:

;

Подставим выражения D₁ и D₂ в формулу (5.2)

.

       Отсюда

.

Произведем вычисления

.

Ответ: изменение интерференционной картины на противоположную возможно при минимальной толщине пленки, равной 1,21 мкм.

Пример 2. Плосковыпуклая линза положена на стеклянную пластинку, причем вследствие попадания пыли между линзой и пластинкой нет контакта (рис. 5.2). Радиусы пятого и пятнадцатого темных колец Ньютона, наблюдаемых в отраженном свете, равны r₅ = 0,7 мм и r₁₅ = 1,7 мм. Определите радиус кривизны выпуклой поверхности линзы, если система освещается светом с длиной волны l = 581 нм.

Решение:

Если на систему, состоящую из линзы и пластинки, падает свет (для простоты будем считать, что свет падает нормально к поверхности пластинки), то происходит следующее (см. рис. 5.2): в точке А световой пучок частично отразится, а частично пройдет в воздушный зазор между линзой и пластинкой и отразится от поверхности пластинки в точке С. В точке А обе части пучка встречаются, имея разность хода D = 2h + l/2 (h -толщина зазора, соответствующего точке А), и в зависимости от того, равна ли эта разность нечетному числу полуволн или четному, в точке А получается минимум или максимум света.

Исходя из этого для толщины зазора, при котором наблюдается минимум света, получаем

.

Радиус r темного кольца для случая отсутствия оптического контакта можно выразить из треугольника AOD:

,

где R – радиус кривизны поверхности линзы.

Поскольку (h - x)² мало по сравнению с 2R(h - x), то этим членом можно пренебречь, тогда формула примет вид

.

Подставляя значения h для темного кольца, получаем:

.

В условии задачи известны радиусы двух темных колец r₅ и r₁₅:

 и .

Взяв разность r₅² и r₁₅², можно исключить неизвестную величину зазора х:

.

Отсюда

.

Подставляя числовые данные задачи, получаем:

.

Ответ: радиус кривизны выпуклой поверхности линзы R = 0,41 м.

Пример 3. Сколько максимумов дает дифракционная решетка, имеющая N = 500 штрихов на l = 1 мм? Длина волны падающего нормально на решетку света равна l = 0,598 мкм. Определить угол j, соответствующий максимуму наибольшего порядка (рис. 5.3).

Решение:

Для волновых максимумов, полученных с помощью дифракционной решетки, справедливо соотношение

                           ,              (5.3)

где d – постоянная решетки; j_k – угол отклонения лучей дифракционного максимума; k – порядок максимума; l – длина волны.

Из соотношения (5.3) находим наибольший номер k или порядок высшего дифракционного максимума, который может дать данная дифракционная решетка. Для этого предельный угол дифракции должен быть равен

,  а .

       Поэтому

                           ,       или .                (5.4)

Постоянная дифракционной решетки

                                      .                                       (5.5)

Решая совместно уравнения (5.4) и (5.5), имеем

.

Делаем расчет

.

Так как k должно быть целым числом, то, следовательно, k_max = 3. Общее число главных максимумов, которое дает эта решетка на экране (см. рис. 5.3), M = 2k+1 = 7. Определим угол дифракции максимума третьего порядка по формуле:

  или  и рассчитаем

.

Ответ: освещая данную решетку монохроматическим светом с длиной волны 0,598 мкм, можно наблюдать на экране 7 главных максимумов; угол дифракции максимума наибольшего порядка равен приблизительно 63,8^о.

Пример 4. Постоянная дифракционной решетки d = 10 мкм, ее ширина l = 2 см. В спектре какого порядка эта решетка может разрешить дуплет l₁ = 486 нм и l₂ = 486,1 нм?

Решение:

Разрешающая способность дифракционной решетки

  ,      (5.6)

где Dl – минимальная разность длин волн двух спектральных линий l и l+Dl, разрешаемых решеткой; k – порядок спектра; N – число щелей решетки. Так как постоянная решетки d есть расстояние между серединами соседних щелей, то

                                            ,                                 (5.7)

где l – ширина решетки. Из формулы (5.6) с учетом формулы (5.7) находим:

                                     .                          (5.8)

Дублет спектральных линий l₁ и l₂ будет разрешен, если

                                        .                            (5.9)

Подставляя уравнение (5.8) в уравнение (5.9), с учетом того, что l=l₁, получаем:

                                        .                         (5.10)

Из выражения (5.10) следует, что дублет l₁ и l₂ будет разрешен во всех спектрах с порядком

.

Проводя вычисления, получаем:

.

Так как k – целое число, то k ³ 3.

Ответ: дублет может быть разрешен дифракционной решеткой в спектре третьего порядка и выше (k ³ 3).

Пример 5. Пучок естественного света падает на полированную поверхность стеклянной пластины, погруженной в жидкость. Отраженный от пластины пучок образует угол j = 85^о с падающим пучком (рис. 5.4). Определить показатель преломления п₁ жидкости, если отраженный свет максимально поляризован.

Решение:

Согласно закону Брюстера, пучок света, отраженный от диэлектрика, максимально поляризован в том случае, если тангенс угла падения численно равен относительному показателю преломления:

,

где п_2,1 – показатель преломления второй среды (стекла) относительно первой (жидкости).

Относительный показатель преломления равен отношению абсолютных показателей преломления:

.

Так как угол падения равен углу отражения, то, следовательно,

,

откуда

.

       Произведем вычисления

.

Ответ: показатель преломления жидкости  n₁ = 1,64.

Пример 6. Определить, во сколько раз уменьшится интенсивность естественного света, прошедшего через два николя N₁ и N₂, плоскости поляризации которых составляют угол a = 60^о. При прохождении каждого из николей потери на поглощение света составляют 10% света, падающего на него.

Решение:

Естественный свет, попадая на грань николя N₁ (призма Николя), расщепляется вследствие двойного лучепреломления на два пучка: обыкновенный и необыкновенный. Оба пучка одинаковы по интенсивности и полностью поляризованы. Плоскость колебаний светового вектора  ( ) для необыкновенного пучка (е) лежит в плоскости главного сечения призмы (ADBC). Плоскость колебаний вектора  (· ·) для обыкновенного пучка (о) перпендикулярна плоскости рисунка 5.5.

Обыкновенный пучок (о) вследствие полного отражения от плоскости АMFB отклоняется в сторону нижней зачерненной поверхности призмы и поглощается ею. Необыкновенный пучок (е) проходит через николь N₁ почти без отклонения. При этом интенсивность света уменьшается вследствие поглощения в веществе николя.

Интенсивность света I₀, прошедшего через поляризатор (николь N₁),

                               ,                       (5.11)

где k – относительная потеря интенсивности света в николе; 0,5(1 - k) – относительная интенсивность света, прошедшего через николь; I_ест – интенсивность естественного света, падающего на николь N₁.

Поляризованный свет, войдя во второй николь N₂ (анализатор), также расщепляется на два пучка, но уже различной интенсивности в зависимости от значения угла a  (см. ниже): обыкновенный и необыкновенный. Обыкновенный пучок полностью поглощается призмой, поэтому его интенсивность нас не интересует. Интенсивность I необыкновенного пучка, вышедшего из призмы N₂, определяется законом Малюса (без учета поглощения света во втором николе):

,

где a – угол между плоскостью колебаний в поляризованном пучке и плоскостью пропускания николя N₂.

Учитывая потери интенсивности во втором николе

                                  .                     (5.12)

С учетом формулы (5.11) получим

.

Искомое уменьшение интенсивности при прохождении света через оба николя найдем, разделив интенсивность I_ест естественного света на интенсивность I света, прошедшего систему из двух николей:

Произведем вычисления:

Ответ: при прохождении двух николей интенсивность естественного света уменьшится примерно в 9,88 раза.

Пример 7. На металлическую пластинку падает монохроматический пучок света с длиной волны l = 0,413 мкм. Поток фотоэлектронов, вырываемых с поверхности металла, полностью задерживается разностью потенциалов U_З = 1 В. Определить работу выхода и красную границу фотоэффекта.

Решение:

Для решения задачи воспользуемся уравнением Эйнштейна для внешнего фотоэффекта:

      ,   (5.13)

где с – скорость света в вакууме; l - длина волны падающего света; А_вых – работа выхода электронов из металла; Е_К – максимальная кинетическая энергия вылетевших электронов.

Так как поток электронов полностью задерживается разностью потенциалов U_З, то

                                        ,                              (5.14)

где е – заряд электрона.

Из уравнений (5.13) и (5.14) находим работу выхода

.

Красная граница фотоэффекта определяет ту наибольшую длину волны l₀ (или, соответственно, наименьшую частоту n₀ = с/l₀), при которой фотоэффект еще возможен. Это должно соответствовать условию, когда  Е_К = 0. Тогда

 , или .

Делаем проверку единиц измерения:

,

.

Расчет:

.

Ответ: Работа выхода электронов из металла равна А_вых = 3,2×10^‑19 Дж; а красная граница фотоэффекта l₀ = 6,2×10^-7 м.

Пример 8. Длина волны, на которую приходится максимум энергии в спектре излучения абсолютно черного тела, l_т = 0,58 мкм. Определить энергетическую светимость (излучательность) R_e поверхности тела.

Решение:

Энергетическая светимость R_e абсолютно черного тела в соответствии с законом Стефана - Больцмана пропорциональна четвертой степени термодинамической температуры и выражается формулой

                                        ,                               (5.15)

где s – постоянная Стефана – Больцмана; Т – термодинамическая температура.

Температуру Т можно вычислить с помощью закона смещения Вúна:

                                        ,                              (5.16)

где l_max – длина волны, на которую приходится максимум энергии излучения абсолютно черного тела; С₁ - постоянная закона смещения Вúна.

Используя формулы (5.16) и (5.15), получим

.

Проверим единицы измерения:

.

Произведем вычисления:

.

Ответ: энергетическая светимость поверхности абсолютно черного тела  R_e = 3,54×10⁷ Вт/м².

Пример 9. Вычислить для основного состояния (п = 1) атома водорода радиус круговой орбиты электрона и его скорость.

Решение:

Исходя из первого постулата Бора, определяем радиус круговой орбиты электрона:

,

откуда        ,          (5.17)

где т_е – масса электрона; V_n – скорость движения электрона на n-ой орбите; п – порядковый номер орбиты; r_n – радиус орбиты электрона; h – постоянная Планка.

При движении электрона по орбите кулоновская сила взаимодействия электрона и ядра является центростремительной силой:

,

откуда

                                   ,                          (5.18)

где – заряд электрона или ядра атома водорода; e - относительная диэлектрическая проницаемость среды (для вакуума e =1); e₀ – электрическая постоянная.

Из формул (5.17) и (5.18) следует

,

тогда скорость электрона

.

Найденное значение скорости подставляем в уравнение (5.17) и определяем радиус орбиты

.

Проверим единицы измерения:

;

.

Подставляем числовые значения и делаем расчет (e =1):

Ответ: электрон на первой орбите радиусом r₁ = 5,3×10^-11 м  имеет  скорость  V₁ = 2,18×10⁶ м/с.

Пример 10. Электрон в атоме водорода перешел с четвертого энергетического уровня на второй. Определить энергию испущенного при этом фотона.

Решение:

Для определения энергии фотона воспользуемся сериальной формулой для водородоподобных ионов:

        ,       (5.19)

где l – длина волны фотона; R – постоянная Ридберга; Z – заряд ядра в относительных единицах (при Z = 1 формула переходит в сериальную формулу для водорода); п – номер орбиты, на которую перешел электрон; k – номер орбиты, с которой перешел электрон (п и k  – главные квантовые числа).

Энергия фотона e выражается формулой:

,

где h – постоянная Планка; с – скорость света в вакууме.

Умножив обе части равенства (5.19) на hc, получим выражение для энергии фотона:

.

Проверим единицы измерения:

.

Выполним расчет:

(1 эВ – внесистемная единица энергии, используемая в основном в атомной и ядерной физике, 1 эВ = 1,6×10^-19 Дж).

Ответ: при переходе электрона в атоме водорода с четвертой орбиты на вторую испустился фотон с энергией e = 2,56 эВ.

Пример 11. Электрон, начальной скоростью которого можно пренебречь, прошел ускоряющую разность потенциалов U. Найти длину волны де Бройля электрона для двух случаев: 1) U₁ = 51 В; 2) U₂ = 510 кВ.

Решение:

Длина волны де Бройля для частицы зависит от ее импульса и определяется формулой

                    ,           (5.20)

где h – постоянная Планка.

Импульс частицы можно определить, если известна ее кинетическая энергия Е_К. Связь импульса с кинетической энергией различна для нерелятивистского (когда кинетическая энергия частицы много меньше ее энергии покоя) и релятивистского случаев (когда кинетическая энергия сравнима с энергией покоя частицы).

В нерелятивистском случае

                                      ,                           (5.21)

где т₀ – масса покоя частицы.

В релятивистском случае

                               ,                    (5.22)

где  Е₀ = т₀с² – энергия покоя частицы.

Формула (5.20) с учетом (5.21) и (5.22) запишется:

в нерелятивистском случае

                                    ;                          (5.23)

в релятивистском случае

                                .                    (5.24)

Сравним кинетические энергии электрона, прошедшего заданные в условии задачи разности потенциалов U₁ = 51 В и U₂ = 510 кВ, с энергией покоя электрона и в зависимости от этого решим, какую формулу (5.23) или (5.24) следует применить для вычисления длины волны де Бройля.

Как известно, кинетическая энергия электрона, прошедшего ускоряющую разность потенциалов U,

,

где е – заряд электрона ( |е| = 1,6×10^-19 Кл ).

В первом случае

Е_К1= еU₁ =1,6×10^-19 Кл×51 В = 81,6×10^-19 Дж.

В электрон-вольтах (1 эВ = 1,6×10^-19 Дж), кинетическая энергия электрона будет равна

Е_К1 = 51 эВ = 0,51×10^-4 МэВ,

что много меньше энергии покоя электрона: Е₀ = т₀с² = 0,51 МэВ (1 МэВ = 10⁶ эВ). Следовательно, в этом случае можно применить формулу (5.23). Для упрощения расчетов заметим, что Е_К1 = 10^-4т₀с². Подставив это выражение в формулу (5.23), перепишем ее в виде

.

Во втором случае кинетическая энергия

Е_К2 = еU₂ = 510 кэВ = 0,51 МэВ,

то есть, равна энергии покоя электрона. В этом случае необходимо применять формулу (5.24). Учитывая, что Е_К2 = т₀с², по формуле (5.24) находим:

.

Делаем проверку единиц измерения:

.

Расчет:

;

.

Ответ: при прохождении разности потенциалов U₁ и U₂ длины волн де Бройля для электрона соответственно равны 172 пм и 1,4 пм.

Пример 12. Определить начальную активность А₀ радиоактивного препарата магния  массой 0,2 мкг, а также его активность А через  6 часов.

Решение:

Активность А препарата определяет скорость радиоактивного распада и измеряется числом ядер, распадающихся в единицу времени,

,

где dN – число ядер, распавшихся за время dt; знак минус означает, что активность препарата с течением времени убывает.

Закон радиоактивного распада в дифференциальной форме имеет вид:

,

где l – постоянная радиоактивного распада.

В интегральной форме (для больших значений времени) получим:

,

где N₀ – число не распавшихся ядер в момент времени, принятый за начальный;  е – основание натуральных логарифмов.  Тогда активность

.

Откуда следует, что начальная активность (при t = 0)

                                       .                                    (5.25)

Следовательно, закон изменения активности по времени примет вид:

                                       .                              (5.26)

За единицу измерения активности в системе СИ принят 1 распад в секунду (1 расп/c = 1 c^-1 = 1 Бк – Беккерель). На практике обычно активность измеряют во внесистемных единицах Кюри: 1 Ки = 3,7×10¹⁰ Бк (1 Ки приблизительно соответствует активности 1 г радия ).

Начальную активность определим по формуле (5.25). Входящая в эту формулу постоянная распада может быть выражена через период полураспада соотношением

.

Для  (см. табл. 16 в приложении 1) период полураспада = 10 мин = 600 с. Следовательно,

.

Число радиоактивных атомов N₀, содержащихся в массе препарата, равно произведению числа Авогадро N_A на число молей n данного изотопа (n = т/m), где m – молярная масса изотопа, то есть

.

Итак, начальную активность А₀ можно представить в виде:

.

Проверим единицу измерения активности:

.

Расчет:

или А₀ = 5,15×10¹² Бк.

В единицах Кюри

Ки.

Значение активности изотопа магния  через 6 часов (6 ч = 2,16×10⁴ с) рассчитаем по формуле (5.26):

 Бк.

В единицах Кюри

Ки.

Ответ: начальная активность препарата 139 Ки, а через 6 часов уменьшится практически до нуля (в единицах Кюри) и составит примерно 2×10^-9 Ки.

Пример 13. Вычислить энергетический эффект ядерной реакции . Освобождается или поглощается энергия?

Решение:

Энергетический эффект Q ядерной реакции определяется уравнением

                            .                   (5.27)

Здесь коэффициент пропорциональности с² удобней для расчетов выразить через внесистемные единицы:

где Sт_исх и Sт_пол – суммы масс исходных ядер и полученных ядер – ядер продуктов реакции.

Для данной задачи уравнение (5.27) запишется в следующем виде:

                       .          (5.28)

При числовых подсчетах по этой формуле массы ядер заменяют массами нейтральных атомов. Возможность такой замены вытекает из следующих соображений.

Число электронов в электронной оболочке нейтрального атома равно его зарядовому числу Z. Сумма зарядовых чисел исходных ядер равна сумме зарядовых чисел ядер – продуктов реакции. Следовательно, электронные оболочки ядер гелия и бора содержат вместе столько же электронов, сколько их содержат электронные оболочки ядер углерода и водорода.

Очевидно, что при вычитании суммы масс нейтральных атомов углерода и водорода из сумм масс атомов гелия и бора массы электронов выпадут, и мы получим тот же результат, как если бы брали массы ядер. Подставив массы атомов в расчетную формулу, получим:

Так как  Q > 0, то реакция идет с выделением энергии.

Ответ: При совершении ядерной реакции выделится 4,06 МэВ энергии.

Пример 14. Определить порядковый номер и массовое число изотопа, который получается из ядер изотопа  в результате одного b^--  и двух a- превращений.

Решение:

b^-- частица – электрон ( ), a- частица – ядро атома гелия ( ), тогда, используя законы сохранения массового числа и электрического заряда, запишем

.

По таблице Менделеева определяем, что элемент Х, стоящий под номером 88 – изотоп радия ( ).

Ответ: после одного b^-- превращения и двух a - превращений изотоп протактиния Ра-233 превращается в изотоп радия Ra-225.

Задачи

Таблица вариантов к контрольной работе №5

Темы задач(для каждого варианта): в первой задаче – интерференция света; во второй – законы дифракции в параллельных пучках; в третьей – поляризация волн и вращение плоскости поляризации; в четвертой – внешний фотоэффект; в пятой – законы теплового излучения; в шестой – строение атома (постулаты Бора), закономерности линейчатых спектров; в седьмой – волны де Бройля; в восьмой – закономерности радиоактивного распада; в девятой – ядерные реакции, тепловой эффект ядерных реакций; в десятой – законы сохранения при ядерных реакциях, взаимное превращение частиц.

501. В опыте Юнга расстояние между щелями d = 0,7 мм, а расстояние от щелей до экрана L = 5 м. Определить: 1) положение второй темной полосы; 2) положение третьей темной полосы, если щели освещались монохроматическим светом с длиной волны l = 0,6 мкм.

502. В опыте с зеркалами Френеля расстояние d между мнимыми изображениями источника света равно 0,5 мм, расстояние L от них до экрана равно 5 м, в желтом свете ширина интерференционных полос равна 6 мм. Определить длину волны желтого света.

503. В опыте Юнга на пути одного из интерферирующих лучей помещают перпендикулярно этому лучу тонкую стеклянную пластинку (n = 1,6). При этом центральная светлая полоса смещается в положение, первоначально занимаемое четвертой светлой полосой. Длина волны монохроматического света l = 630 нм. Определить толщину пластинки.

504. На тонкую прозрачную плоскопараллельную пластинку (n = 1,6) под углом 40^о падает белый свет. При какой наименьшей толщине пленки она в проходящем свете будет казаться красной (l = 700 нм)?

505. Параллельный пучок монохроматического света (l = 0,55 мкм) падает нормально на тонкую пленку, нанесенную на толстую стеклянную пластинку. Показатели преломления пленки и пластинки соответственно равны 1,46 и 1,54. Определить наименьшую толщину пленки, при которой отраженный свет будет максимально ослаблен.

506. На стеклянный клин (n = 1,6) с углом при вершине a = 2^/ падает монохроматический свет с длиной волны l = 700 нм. Угол падения равен 20^о. Определить расстояние между двумя соседними максимумами при наблюдении интерференционной картины в отраженном свете.