Эффект Холла и его теоретическое обоснование

Эффект Холла[8] заключается в возникновении в металле или полупроводнике с током плотностью , помещенном в магнитное поле с индукцией , электрического поля в направлении, перпендикулярном и .

Если к электродам 1 и 2 проводника (или полупроводника), имеющего форму прямоугольной пластинки (рис. 7.1) высотой b и толщиной а, приложить напряжение U₁₂, то внутри проводника создастся электрическое поле напряженностью , обуславливающее ток I₁₂ в направлении от электрода 1 к электроду 2.

При не эквипотенциальном расположении холловских электродов на выходе датчика Холла появляется «паразитное» напряжение, которое определяется законом Ома. В случае однородной прямоугольной пластины, удельное сопротивление которой не зависит от температуры, это напряжение, называемое резистивным остаточным напряжением, можно представить в виде зависимости U₀=r₀I₁₂, где r₀ – коэффициент резистивного остаточного напряжения, характеризующий величину сопротивления материала, заключенного между эквипотенциальными поверхностями, на которых располагаются холловские электроды.

Если поместить проводник с током между электродами 1 и 2 в магнитное поле, силовые линии которого перпендикулярны плотности тока, то на подвижные заряды будет действовать сила Лоренца , где q – заряд носителей тока, v – скорость упорядоченного движения зарядов под действием продольного электрического поля, направленного от электрода 1 к электроду 2 (см. рис. 7.1).

Если носителями тока являются электроны, то формула для силы Лоренца запишется в виде:

,                                                (7.1)

где e = 1,6·10^-19 Кл – заряд электрона.

Под действием силы электроны, смещаясь к нижней грани пластинки, образуют на ней избыточный отрицательный заряд, на верхней грани появится положительный заряд. Внутри пластинки создается поперечное электрическое поле, напряженностью  Сила Лоренца будет уравновешиваться силой поперечного электрического поля. Поэтому

.                                       (7.2)

Таким образом, устанавливается стационарное распределение зарядов в поперечном направлении. Появляющаяся разность потенциалов  между электродами 3 и 4 (или Холловская разность потенциалов ), связана с напряженностью электрического поля  соотношением

.                          (7.3)

Известно, что ток

,                                  (7.4)

где j – плотность тока. В соответствии с электронной теорией

                                      (7.5)

где n₀ – концентрация электронов в проводнике.

С учетом формул (7.4) и (7.5) выражение (7.3) примет вид

 ,                        (7.6)

где

                                       (7.7)

 постоянная Холла.

По измеренному значению постоянной Холла можно определить концентрацию носителей тока в проводнике (при известных характере проводимости и заряде носителей), а так же судить о природе проводимости полупроводников, так как знак постоянной Холла совпадает со знаком заряда носителей тока.

Если в формуле (7.6) обозначить

,                                   (7.8)

где γ называется чувствительностью датчика Холла (ее принято измерять в мВ/Тл), тогда в идеализированном случае

                                         (7.9)

С учетом резистивного остаточного напряжения  зависимость  от проекции вектора магнитной индукции на нормаль к плоскости датчика  оказывается линейной

, .                           (7.10)

Типичный график зависимости  от проекции вектора магнитной индукции на нормаль к плоскости датчика  показана на рис. 7.2.

Рис. 7.2. Пример зависимости Холловской разности потенциалов  от проекции вектора магнитной индукции на нормаль к плоскости датчика : точки – экспериментальные данные, прямая – результат сглаживания.

Значение постоянной Холла

,

позволяет определить не только концентрацию электронов в проводнике, но и найти среднюю скорость упорядоченного движения электронов. Из формулы (7.5)

или с учетом (7.4)

                                           (7.11)

Если носителями тока являются дырки (см. стр. 17 работы 2.3.), напряжение U₃₄ оказывается противоположным по полярности напряжению Холла в случае электронной проводимости.

Результирующий вектор напряженности электрического поля  и ток I при наличии магнитного поля не будут параллельны друг другу. Угол θ между  и направлением плотности тока (рис.7.1) получил название угла Холла. В данном случае эквипотенциальные линии, располагаясь перпендикулярно вектору , образуют угол θ с плоскостью, проходящей через электроды 3 и 4.

Принимая во внимание, что  и  можно рассчитать тангенс угла Холла

                                    (7.12)

Поскольку, согласно (7.8) и (7.9) напряжение U₃₄ прямо пропорционально произведению I₁₂·B, а напряжение U₁₂ прямо пропорционально току I₁₂, то отношение U₃₄/U₁₂, а следовательно и tgθ, будет линейно зависеть от индукции магнитного поля В.

Датчики Холла

Первые предложения по техническому использованию эффекта Холла были высказаны на рубеже 19 и 20 веков. Реальная база для этого возникла, однако, значительно позже, а именно со времени разработки технологии получения полупроводниковых материалов, характеризующихся значительными подвижностями носителей тока. К этим материалам относятся: кремний Si, германий Ge, антимонид и арсенид индия InSb и InAs, арсенид-фосфид индия InAsP, арсенид галлия GaAs, селенид и теллурид ртути HgSe и HgTe. Позже в технологических лабораториях были разработаны и другие материалы, такие как кадмий-ртуть-теллур CdHgTe, арсенид кадмия Cd₃As₂ , которые пригодны для технических применений эффекта Холла.

Под датчиками Холла понимают полупроводниковые приборы, преобразующие на основе эффекта Холла индукцию внешнего магнитного поля в электрическое напряжение. Сам датчик представляет собой тонкую пластинку (или пленку) полупроводника, укрепленную (напыленную) на прочной подложке из диэлектрика (слюды, керамики, феррита), с четырьмя электродами для подведения тока и съема ЭДС Холла.

Датчики Холла относятся к активным датчикам, так как они сами вырабатывают измерительное напряжение, связанное с магнитным полем. Они широко применяют в устройствах измерителей магнитной индукции и в аналоговых вычислительных машинах в качестве умножителей элементов. Разработан ряд интегральных схем со встроенным датчиком Холла. Схемы могут быть либо с аналоговым выходом, либо цифровым. На их основе созданы датчики перемещения, измерители частоты вращения, электронные компасы, бесконтактные переключатели, бесколлекторные электродвигатели постоянного тока и т.д.