Закон Био-Савара-Лапласса и его применение для определения индукции магнитного поля  кругового тока

Согласно закону Био-Савара-Лапласа[3] элемент  проводника с током  в точке с радиус-вектором , проведенным из элемента , создает магнитное поле с индукцией  

.                                        (5.1)

Согласно свойству векторного произведения вектор  перпендикулярен плоскости, проходящей через вектора  и . Направление вектора  можно найти с помощью правила правого винта: если головку винта вращать от  к , то направление поступательного движения винта совпадет с направлением вектора . Правую резьбу имеет большинство винтов, используемых в быту и технике, например, отвинчивающиеся части шариковых ручек. За положительное направление вектора магнитной индукции  принимается направление от южного полюса S к северному полюсу N магнитной стрелки, свободно ориентирующейся в магнитном поле. Поэтому исследовать магнитное поле, создаваемое током или постоянным магнитом, и определить направление вектора  в каждой точке пространства можно с помощью маленькой магнитной стрелки. Такое исследование, позволяющее наглядно представить пространственную структуру магнитного поля предусмотрено в данной работе. Аналогично силовым линиям в электростатике можно построить линии магнитной индукции – линии, касательные к которым в каждой точке совпадают с направлением вектора .

Модуль вектора  равен

,                               (5.2)

где  – угол между векторами  и .

Величина индукции магнитного поля кругового тока в центре витка равна:

,                                              (5.3)

где m₀ – магнитная постоянная, I – ток, текущий по витку, R – радиус витка. Вектор  направлен перпендикулярно плоскости витка катушки. Величина индукции магнитного поля круговой катушки с n витками равна:

.                                           (5.4)

Закон Био-Савара-Лапласа вместе с принципом суперпозиции полей позволяет просто вычислять магнитные поля. Рассмотрим пример нахождения индукции магнитного поля на оси кольца с током (рис.5.1).

Вектор  из соображений симметрии может быть направлен только по оси кольца. Величина индукции магнитного поля в точке оси, удаленной на расстояние  от центра кольца, задается интегралом

, (5.5)

где

, .               (5.6)

Рис.5.1.Магнитное поле кругового тока

Для катушки с витками окончательно получим   

,                          (5.7)

где  – магнитное поле в центре круговой катушки

.                                               (5.8)

Магнитное поле Земли

Магнитное поле Земли имеет постоянную составляющую (вклад 99%) и переменную (1%). Основное магнитное поле Земли по форме близко к полю естественного магнита или кругового тока. Его центр смещен относительно центра Земли, а ось наклонена к оси вращения Земли на 11,5º. Магнитные полюса отстоят от географических полюсов примерно на 300 км. В северном полушарии находится южный магнитный полюс, вблизи которого вектор магнитной индукции направлен вниз.

Силовые линии магнитного поля Земли показаны на рис. 5.2. Средняя величина магнитной индукции вблизи земной поверхности составляет около 5·10^-5 Тл.

Рис. 5.2. Схематичное изображение магнитных и географических полюсов и силовых линий магнитного поля Земли

Магнитная индукция  в любой точке пространства направлена по касательной к силовым линиям. Вектор  можно разложить на два составляющих вектора:  – горизонтальную составляющую и  – вертикальную составляющую (рис. 5.3). Горизонтальная составляющая вектора магнитной индукции  где a – угол между вектором магнитной индукции Земли  и направлением горизонтали. При выполнении лабораторной работы поверхность стола можно считать горизонтальной, а магнитное поле Земли – однородным.

Рис. 5.3. Разложение вектора магнитной индукции магнитного поля Земли на горизонтальную и вертикальную составляющие

В магнитном поле Земли на магнитную стрелку с магнитным моментом  действует вращающий момент сил , равный

.                             (5.9)

где

, .                    (5.10)

Вращающий момент сил  стремится повернуть стрелку вокруг вертикальной оси до совпадения с направлением вектора , когда он станет равным нулю. Вращающий момент сил  стремится повернуть стрелку вокруг горизонтальной оси. Но магнитная стрелка компаса может вращаться только вокруг вертикальной оси под действием момента , а действию момента  препятствует опора стрелки.

Причиной возникновения магнитного поля Земли является конвективное движение электропроводящего вещества в жидком ядре планеты. Соответствующая теория гидромагнитного динамо удовлетворительно объясняет все известные экспериментальные факты, в том числе инверсии – изменение знака магнитного поля в течение 10³-10⁴ лет. Такие процессы в земной истории обнаружены при исследовании намагниченности осадочных горных пород, содержащих ферромагнитные минералы. Построены экспериментальные модели, состоящие из быстро вращающихся цилиндров в электропроводящей жидкости, которые самовозбуждались и генерировали собственное магнитное поле за счет энергии вращения. Однако недостаток сведений об источниках энергии, возбуждающих конвективное движение в ядре Земли не позволяет построить конкретную модель гидродинамического динамо для Земли.